Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=e^-1 / z^2, 0<|z|

Passo 1

A função é f(z)=e{-1/z2} e queremos expandi-la em torno de z=0 num anel 0<|z|<∞ usando série de Laurent.

Passo 2

Sabendo que a série de Taylor de exp(w) em torno de w=0 é
e^w=sumn=0^inftyw^nn!,
vamos identificar w=−1/z^2.

Passo 3

Fazendo a substituição w=−1/z^2 obtemos
e^-1/z^2=sumn=0^infty(-1/z^2)^nn!=sumn=0^infty(-1)^nn!z^-2n,
que já é uma série de Laurent (só termos de potências negativas de z).

Passo 4

Verificamos a convergência: como a série de exp(w) converge para todo w, aqui ela converge para todo z≠0, ou seja, no anel 0<|z|<∞.

Resposta

f(z)=e^-1/z^2=sumn=0^infty(-1)^nn!z^-2n, 0<|z|

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