Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
Temos a função
e queremos sua série de Laurent válida no anel definido por
. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Laurent em torno do ponto
, e vamos precisar usar mudança de variável, frações parciais e expansão em potências.
Passo 2
Para centralizar a expansão em
, fazemos a troca de variável
. Assim
e
. Logo reescrevendo
em termos de
temos:
Passo 3
Agora aplicamos frações parciais. Queremos achar constantes
e
tais que
Passo 4
Multiplicando em cruz,
, temos o sistema
A+B=1 e -3A=-1, de onde e
. Assim
A+B=1 e -3A=-1, de onde
Passo 5
O primeiro termo
já é da forma de Polo de ordem 1 em
. Para o segundo termo, como queremos
, escrevemos
Passo 6
válido pois
. Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 7
Por fim, voltando à variável
(lembre-se que
), a expansão de Laurent em
fica