Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=z(z+1)(z-2), 0<|z+1|<3

Passo 1

Temos a função f(z)=z(z+1)(z-2) e queremos sua série de Laurent válida no anel definido por 0<|z+1|<3. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Laurent em torno do ponto z=-1, e vamos precisar usar mudança de variável, frações parciais e expansão em potências.

Passo 2

Para centralizar a expansão em z=-1, fazemos a troca de variável u=z+1. Assim z=u-1 e z-2=(u-1)-2=u-3. Logo reescrevendo f em termos de u temos:
f(z)=u-1u(u-3)

Passo 3

Agora aplicamos frações parciais. Queremos achar constantes A e B tais que
u-1u(u-3)=Au+Bu-3

Passo 4

Multiplicando em cruz, u-1=A(u-3)+Bu, temos o sistema
A+B=1 e -3A=-1, de onde A=tfrac13 e B=tfrac23. Assim
f(z)=1/3u+2/3u-3

Passo 5

O primeiro termo tfrac13u já é da forma de Polo de ordem 1 em u=0. Para o segundo termo, como queremos |u|<3, escrevemos
1u-3=-13cdot11-u3=-13sumn=0^inftyl(u3r)^n,

Passo 6

válido pois |u/3|<1. Multiplicando pelo fator 2/3 obtemos
2/3u-3=-29sumn=0^inftyl(u3r)^n

Passo 7

Por fim, voltando à variável z (lembre-se que u=z+1), a expansão de Laurent em 0<|z+1|<3 fica
f(z)=13,(z+1)^-1-29sumn=0^infty(z+1)^n3^n

Resposta

f(z)=13(z+1)^-1-sumn=0^infty29,(z+1)^n3^n, 0<|z+1|<3

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