Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
Passo 1
O problema pede para expandir a função
em torno de
usando série de Taylor e determinar o raio de convergência. Vamos precisar da definição de série de Taylor e do fato de que podemos usar a série geométrica quando a função estiver na forma
.
Passo 2
Para relacionar com a série geométrica, introduzimos
. Assim,
Sabendo que para
basta voltar a variável
para
e obter a série de Taylor em torno de
:
Passo 3
O raio de convergência
de uma série de Taylor de uma função holomorfa é a distância do centro
até a singularidade mais próxima. Aqui a única singularidade é
, logo
$$
R = |1 - 0| = 1.$$
Resposta
A série de Taylor em torno de
é
para
, e o raio de convergência é
.