Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=1z, z0=1

Passo 1

O problema pede para expandir a função f(z)=1/z em torno de z0=1 usando série de Taylor e determinar o raio de convergência. Vamos precisar da definição de série de Taylor e do fato de que podemos usar a série geométrica quando a função estiver na forma 1/(1+w).

Passo 2

Para relacionar com a série geométrica, introduzimos w = z-1. Assim,
1z = 11 + (z-1) = 11 + w
Sabendo que para |w|<1 vale a expansão geométrica
11+w = sumn=0^infty (-1)^n w^n
basta voltar a variável w para z-1 e obter a série de Taylor em torno de z0=1:
1z = sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^n, |z-1|<1

Passo 3

O raio de convergência R de uma série de Taylor de uma função holomorfa é a distância do centro z0 até a singularidade mais próxima. Aqui a única singularidade é z=0, logo
$$
R = |1 - 0| = 1.$$

Resposta

A série de Taylor em torno de z0=1 é
1z = sumn=0^infty (-1)^n (z-1)^n,
para |z-1|<1, e o raio de convergência é R=1.

Exercícios relacionados