Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto x^2 y^prime prime+2 x y^prime=0, y1=1 seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler
x^2y''+2xy'=0
e pede para, sabendo que y1(x)=1 é uma solução, encontrar outra y2(x) de modo que y1,y2 seja linearmente independente.

Passo 2

Primeiro transformamos a equação na forma padrão de segunda ordem sem termo em y:
y''+P(x)y'=0
Aqui basta dividir por x^2 (supondo xneq0) para obter
y''+2xy'=0,
de onde identificamos P(x)=2/x.

Passo 3

Para achar y2 usamos o método de redução de ordem. Como y1(x)=1, a fórmula diz
$$y_{2}(x)=y_{1}(x)\int e^{-\int P(x),dx},/\bigl(y_{1}(x)^{2}\bigr),dx.
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dx,/l(y1(x)^2r),dx e^{-\int P(x),dx}=e^{-\int \frac{2}{x}dx}=e{-2\ln|x|}=x{-2}.
$$

Passo 4

Agora integramos
$$\int x{-2}dx=-x{-1}+C.
integral x^-2dx=-x^-1+C çãy_{2}(x)=1\cdot(-x^{-1})=-\frac{1}{x}.
y2(x)=1cdot(-x^-1)=-1x ãêy_{2}(x)=\frac{1}{x}.
$$

Resposta

Uma escolha conveniente para a segunda solução é y2(x)=1/x, que junto com y1(x)=1 forma um conjunto linearmente independente.

Exercícios relacionados