Usando o resultado (24) mostre que cada uma das integrais a seguir divergem.
integral2^infty 1(1+x) ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral2^infty 1(1+x)ln x,dx
é divergente. O conteúdo principal envolvido é integral imprópria no infinito e o teste de comparação, usando o resultado clássico de que
integrala^infty 1xln x,dx = infty
para qualquer a>1.

Passo 2

Para comparar com uma integral conhecida, note que para x>=2 temos 1+x<=2x. Logo,
1(1+x)ln x ;>=; 12xln x

Passo 3

Assim,
integral2^infty 1(1+x)ln x,dx ;>=; integral2^infty 12xln x,dx = 12 integral2^infty 1xln x,dx

Passo 4

Pelo resultado conhecido (resultado (24)), integral2^infty tfrac1xln x,dx = infty. Então a integral dada é maior que tfrac12 de uma integral divergente, logo também diverge.

Resposta

A integral diverge por comparação com integral2^infty tfrac1xln x,dx, que é infinita.

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