Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto y^prime prime-4 y^prime+12 y=0, y1=e^6 x seja linearmente independente.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem homogênea
y''-4y'+12y=0,
e queremos verificar se y1(x)=e^6x é solução e, a partir dela, obter uma segunda solução y2(x) de modo que y1,y2 seja linearmente independente.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y1 e substituir na equação:
y1(x)=e^6x,
y1'(x)=6e^6x,
y1''(x)=36e^6x
Substituindo em y''-4y'+12y temos:
y1''-4y1'+12y1 = 36e^6x - 4cdot6e^6x + 12e^6x = (36 - 24 + 12)e^6x = 24e^6x neq 0

Passo 3

Como o resultado não é zero, concluímos que y1(x)=e^6x NÃO satisfaz a equação dada. Logo, o enunciado está mal formulado e não é possível obter uma segunda solução partindo de uma função que não é solução da equação.

Resposta

Não há como determinar y2 porque y1(x)=e^6x não satisfaz a equação diferencial dada.

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