Seja
In=integral0^infty x^n e^-x d x
n in N. Usando integração por partes mostre que In=n In-1 para n >= 1. Daí, mostre que In=n(n-1)(n-2) ldots 2.1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral In=integral0^inftyx^n e^-xdx, mostrar por integração por partes que In=nIn-1 para n>=1 e então deduzir a forma fechada de In. Vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u=x^n e dv=e^-xdx. Então
du=nx^n-1dx,
$$v=\int e{-x}dx=-e{-x}.
v=integral e^-xdx=-e^-x ó
I_n=\int_{0}{\infty}xn e{-x}dx=igl[-xn e{-x}\bigr]_{0}{\infty}+n\int_{0}{\infty}x{n-1}e^{-x}dx.
integral u,dv=uv-integral v,dué
I_n=0-0+nI_{n-1}=nI_{n-1}.
$$

Passo 3

Sabendo que In=nIn-1 e que
I0=integral0^inftye^-xdx=l[-e^-xr]0^infty=1,
podemos aplicar recursão: para n=1 temos I1=1cdot I0=1, para n=2 temos I2=2I1=2, e assim por diante.

Passo 4

Por indução, cada passo multiplica pelo próximo inteiro, de modo que
In=nIn-1=n(n-1)In-2=cdots=n(n-1)cdots2cdot1,I0=n!cdot1=n!

Resposta

In=n!

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