Seja
. Usando integração por partes mostre que
para
. Daí, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
, mostrar por integração por partes que
para
e então deduzir a forma fechada de
. Vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Para aplicar integração por partes, escolhemos
e
. Então
$$v=\int e{-x}dx=-e{-x}.
I_n=\int_{0}{\infty}xn e{-x}dx=igl[-xn e{-x}\bigr]_{0}{\infty}+n\int_{0}{\infty}x{n-1}e^{-x}dx.
I_n=0-0+nI_{n-1}=nI_{n-1}.
$$
Passo 3
Sabendo que
e que
podemos aplicar recursão: para
temos
, para
temos
, e assim por diante.
Passo 4
Por indução, cada passo multiplica pelo próximo inteiro, de modo que