Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto z0 indicado. Dê o raio de convergência R de cada série.
f(z)=1z, z0=1+i,

Passo 1

O enunciado nos pede para expandir a função f(z)=1/z em série de Taylor centrada em z0=1+i. O conteúdo que vamos usar é o desenvolvimento em série geométrica para funções analíticas, ou seja, a fórmula 1/(1+u)=sumn=0^infty(-1)^n u^n.

Passo 2

Definimos w = z - z0. Então podemos reescrever
f(z) = 1z0 + w = 1z0 cdot 11 + wz0
Como vamos usar a série geométrica em u=wz0, escrevemos

Passo 3

Aplicando a série geométrica:
11+u = sumn=0^infty(-1)^n u^n
com u=tfracwz0, obtemos
f(z) = sumn=0^infty(-1)^n w^nz0^,n+1 = sumn=0^infty(-1)^n (z - (1+i))^n(1+i)^,n+1

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é
gl|wz0gr| < 1 Longrightarrow |z - z0| < |z0| = |1+i| = raiz2
Portanto o raio de convergência é R=raiz2.

Resposta

A série de Taylor é
sumn=0^infty(-1)^n (z-(1+i))^n(1+i)^,n+1
e o raio de convergência é
R = raiz2

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