Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0, y1=x^-1 seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que y1(x)=x^-1 satisfaz a equação de Euler-Cauchy x^2y''+3x y'+y=0 e, a partir dela, ache uma segunda solução y2(x) de modo que y1,y2 seja L.I. Vamos usar redução de ordem, pois já temos uma solução conhecida.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo tudo por x^2 (valendo xneq0) obtemos
y''+3xy'+1x^2y=0
Aqui p(x)=3/x e q(x)=1/x^2. Agora verificamos y1(x)=x^-1.

Passo 3

Para checar que y1 é solução, calculamos
x^2y''+3x y'+y
x^2(2x^-3)+3x(-x^-2)+x^-1=2x^-1-3x^-1+x^-1=0
Substituindo em y1:
Funfa, logo é solução.

Passo 4

Agora vem a redução de ordem. A segunda solução y2 pode ser escrita como
y2=y1(x),integral e^-integral p(x),dxl(y1(x)r)^2,dx
Sabendo p(x)=3/x, temos
e^-integral p,dx=e^-3ln|x|=|x|^-3=x^-3
então
x>0 (consideramos y1^2=x^-2). Também x^-3x^-2=x^-1 . O integrando vira
integral x^-1,dx=ln|x|
Integrando,
y2(x)=x^-1ln|x|
Logo

Passo 5

Para concluir, o Wronskiano de y1 e y2 é proporcional a 1/x^2 (não nulo em xneq0), o que garante que y1,y2 é L.I.

Resposta

A segunda solução é y2(x)=x^-1ln|x|, e x^-1,,x^-1ln|x| forma um conjunto linearmente independente de soluções.

Exercícios relacionados