Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre que
satisfaz a equação de Euler-Cauchy
e, a partir dela, ache uma segunda solução
de modo que
seja L.I. Vamos usar redução de ordem, pois já temos uma solução conhecida.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
. Dividindo tudo por
(valendo
) obtemos
Aqui
e
. Agora verificamos
.
Passo 3
Para checar que
é solução, calculamos
Substituindo em :
Substituindo em
Funfa, logo
é solução.
Passo 4
Agora vem a redução de ordem. A segunda solução
pode ser escrita como
Sabendo
, temos
então
(consideramos
). Também
. O integrando vira
então
Integrando,
Logo
Passo 5
Para concluir, o Wronskiano de
e
é proporcional a
(não nulo em
), o que garante que
é L.I.
Resposta
A segunda solução é
, e
forma um conjunto linearmente independente de soluções.