Verifique que y1 é solução da equação dada e determine, a partir de y1, outra solução y2 da equação, de forma que o conjunto seja linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que y1(x)=3x^2-1 resolve a equação de Legendre de grau 2, que é (1-x^2)y''-2xy'+6y=0, e então usar redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) tal que y1,y2 seja linearmente independente.

Passo 2

Para verificar que y1 resolve a equação, calculamos:
y1'(x)=6x,
y1''(x)=6
e substituímos em
(1-x^2)y1''-2x y1'+6y1=(1-x^2)cdot6-2xcdot6x+6(3x^2-1)
Fazendo as contas dá
6-6x^2-12x^2+18x^2-6=0,
o que confirma que y1 é solução.

Passo 3

Dividindo a equação original por 1-x^2 obtemos a forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
com
p(x)=-2x1-x^2, q(x)=61-x^2

Passo 4

Pela fórmula de redução de ordem, buscamos
y2=y1(x)integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 5

Calcular o fator integrante:
integral p(x),dx=integral -2x1-x^2,dx=ln(1-x^2),
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e^-integral p(x),dx=11-x^2
O integrando fica
e^-integral p,dxy1^2= 1(1-x^2)(3x^2-1)^2

Passo 6

Agora precisamos de
I=integral dx(1-x^2)(3x^2-1)^2
Fazendo frações parciais ou usando primitivas conhecidas, chega-se a uma forma envolvendo x/(3x^2-1) e arctanh(x)=tfrac12ln1+x1-x.

Passo 7

Escolhendo a combinação mais simples (absorvendo constantes de integração e múltiplos de y1), obtemos como segunda solução
y2(x)=(3x^2-1),arctanh(x)-3x
Uma rápida verificação do Wronskiano mostra que W[y1,y2]neq0, garantindo independência linear.

Resposta

y_{2}(x)=(3x^2-1),\operatorname{arctanh}(x)-3x

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