Verifique que
é solução da equação dada e determine, a partir de
, outra solução
da equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
resolve a equação de Legendre de grau 2, que é
, e então usar redução de ordem para encontrar uma segunda solução
tal que
seja linearmente independente.
Passo 2
Para verificar que
resolve a equação, calculamos:
e substituímos em
Fazendo as contas dá
o que confirma que
é solução.
Passo 3
Dividindo a equação original por
obtemos a forma padrão
com
Passo 4
Pela fórmula de redução de ordem, buscamos
Passo 5
Calcular o fator integrante:
logo
O integrando fica
Passo 6
Agora precisamos de
Fazendo frações parciais ou usando primitivas conhecidas, chega-se a uma forma envolvendo
e
.
Passo 7
Escolhendo a combinação mais simples (absorvendo constantes de integração e múltiplos de
), obtemos como segunda solução
Uma rápida verificação do Wronskiano mostra que
, garantindo independência linear.
Resposta
y_{2}(x)=(3x^2-1),\operatorname{arctanh}(x)-3x