Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto
indicado. Dê o raio de convergência
de cada série.
,
Passo 1
O enunciado pede para expandir \x1cf(z)=1/(1+z)\x1d numa série de Taylor centrada em \x1cz_{0}=-i\x1d e encontrar o raio de convergência. O conteúdo aqui é série de Taylor de função holomorfa, e vamos usar a série geométrica e a distância até o polo para achar o raio.
Passo 2
Para facilitar, fazemos a mudança de variável em torno do ponto de expansão: definimos \x1cw=z-z_{0}=z+ i\x1d. Assim estamos expandindo em potências de \x1cw\x1d.
Passo 3
Escrevemos f em termos de \x1cw\x1d. Como z=w - i, temos:
$$
f(z)=\frac{1}{1+z}=\frac{1}{1+(w - i)}=\frac{1}{(1-i)+w}=\frac{1}{1-i}\cdot\frac{1}{1+\frac{w}{1-i}}$$
Reconhecemos a série geométrica: para \x1c|u|<1\x1d, \x1c1/(1+u)=\sum_{n=0}\infty(-1)n u^n\x1d. Aqui \x1cu=w/(1-i)\x1d, então require \x1c|w/(1-i)|<1\x1d, ou seja \x1c|w|<|1-i|\x1d.
Reconhecemos a série geométrica: para \x1c|u|<1\x1d, \x1c1/(1+u)=\sum_{n=0}\infty(-1)n u^n\x1d. Aqui \x1cu=w/(1-i)\x1d, então require \x1c|w/(1-i)|<1\x1d, ou seja \x1c|w|<|1-i|\x1d.
Passo 4
Aplicando a série geométrica obtemos:
Passo 5
O raio de convergência é dado pela condição \x1c|w|<|1-i|\x1d, ou seja \x1cR=|1-i|=\sqrt{2}\x1d. Também podemos ver que o único polo de f é em z=-1 e a distância de -i a -1 é \sqrt{2}, confirmando R.