Utilizando a série de potências conveniente, mostre que:
sumn=2^infty n+1n!=2 e-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série sumn=2^infty n+1n! usando séries de potências. O conteúdo envolve a expansão de e^x e manipulação de somatórios, e vamos precisar usar e^1=sumn=0^infty 1n! e reindexação de somatórios.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em duas parcelas:
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n!}
= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!}. sumn=2^infty n+1n! = sumn=2^infty nn! + sumn=2^infty 1n!\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n!}
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}
= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\biggr) - 1
= e - 1. nn!=1(n-1)!ã\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!}
= \biggl(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\biggr) - 1 - 1
= e - 2. k=n-1\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = (e-1) + (e-2) = 2e - 3.$$

Resposta

2e - 3

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