Utilizando a série de potências conveniente, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série
usando séries de potências. O conteúdo envolve a expansão de
e manipulação de somatórios, e vamos precisar usar
e reindexação de somatórios.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em duas parcelas:
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n!}
= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!}.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n!}
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}
= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\biggr) - 1
= \biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\biggr) - 1
= e - 1.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!}
= \biggl(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\biggr) - 1 - 1
= e - 2.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = (e-1) + (e-2) = 2e - 3.$$
Resposta
2e - 3