Utilizando a série de potências conveniente, mostre que:
sumn=1^infty n2^n-1=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita sumn=1^inftyn2^n-1. Vamos usar série de potências, em especial a derivada da série geométrica, para resolver isso.

Passo 2

Lembrando que a série geométrica para |x|<1 é sumn=0^inftyx^n=11-x.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
sumn=1^inftyn,x^n-1=1(1-x)^2

Passo 4

Observando que nossa soma é sumn=1^inftynl(tfrac12r)^n-1, basta usar x=tfrac12 no resultado acima e obter
sumn=1^inftyn2^n-1=1l(1-tfrac12r)^2=4

Resposta

4

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