Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
(x1-x)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(x)=(x1-x)^3
como série de potência e determinar seu raio de convergência. Vamos usar a série binomial para (1-x)^-3 e depois multiplicar por x^3.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos
f(x)=(x1-x)^3=x^3,(1-x)^-3

Passo 3

Lembrando a série binomial generalizada: para lvert urvert<1 e qualquer alpha,
(1-u)^alpha=sumk=0^inftybinomalphak(-u)^k
Aqui alpha=-3, logo
binom-3k =(-3)(-4)cdots(-2-k)k! =(-1)^kbinomk+22
Substituindo u=x e cancelando os sinais, obtemos
(1-x)^-3 =sumk=0^inftybinomk+22,x^k =sumk=0^infty(k+2)(k+1)2,x^k

Passo 4

Agora multiplicamos por x^3:
f(x)=x^3(1-x)^-3 =sumk=0^infty(k+2)(k+1)2,x^k+3

Passo 5

Para escrever em potências de x^n, façamos n=k+3. Então k=n-3 e n vai de 3 a infty:
f(x) =sumn=3^infty(n-1)(n-2)2,x^n

Passo 6

O raio de convergência vem da condição lvert xrvert<1 da série de (1-x)^-3. A multiplicação por x^3 não altera o raio, portanto
R=1

Resposta

(x1-x)^3 =sumn=3^infty(n-1)(n-2)2,x^n, R=1

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