Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
como série de potência e determinar seu raio de convergência. Vamos usar a série binomial para
e depois multiplicar por
.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
Passo 3
Lembrando a série binomial generalizada: para
e qualquer
,
Aqui
, logo
Substituindo
e cancelando os sinais, obtemos
Passo 4
Agora multiplicamos por
:
Passo 5
Para escrever em potências de
, façamos
. Então
e
vai de 3 a
:
Passo 6
O raio de convergência vem da condição
da série de
. A multiplicação por
não altera o raio, portanto