Expanda f(z)=1(z-1)(z-2) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z-1|<1

Passo 1

O exercício pede para encontrar a série de Laurent de f(z)=1(z-1)(z-2) centrada em z=1, válida no anel 0<|z-1|<1. O conteúdo principal envolve frações parciais e a expansão da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, fazemos frações parciais e mudamos a variável para simplificar perto de z=1. Temos
1(z-1)(z-2)= Az-1+ Bz-2

Passo 3

Resolvendo para A e B:
  • A+B=0 e
  • -2A-B=1
    Dessa forma A=-1 e B=1. Logo
f(z)=-1z-1+1z-2.

Passo 4

Agora definimos w=z-1. Assim
1z-2=1w-1=-11-w

Passo 5

Como na região de interesse |w|<1, podemos usar a série geométrica
11-w=sumn=0^inftyw^n

Passo 6

Substituindo de volta em f, fica
f(z)=-1w-11-w=-1w-sumn=0^infty w^n

Passo 7

Por fim, em termos de z, com w=z-1, obtemos a série de Laurent desejada.

Resposta

f(z)=-1z-1-sumn=0^infty(z-1)^n, válida para 0<|z-1|<1.

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