Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=0^infty(n+1) x^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=0^infty(n+1)x^n, usando derivação e integração termo a termo. O conteúdo envolve séries de potências e propriedades da série geométrica, e vamos precisar da fórmula da série geométrica e da operação de derivação de séries de potências.

Passo 2

Começamos lembrando que a série geométrica é sumn=0^inftyx^n = tfrac11-x para |x|<1. Essa é a base que usaremos para gerar a nossa série com o fator n+1.

Passo 3

Note que se definirmos G(x)=sumn=0^inftyx^n+1, então G(x)=tfracx1-x. Derivando termo a termo temos
G'(x)=sumn=0^infty(n+1)x^n
que é exatamente a série que queremos somar.

Passo 4

Agora basta calcular a derivada de G(x)=tfracx1-x:
Calculando
G'(x)=ddxl(x1-xr)=(1-x)-x(-1)(1-x)^2=1(1-x)^2

Passo 5

Portanto, a série converge para essa função quando |x|<1.

Resposta

sumn=0^infty(n+1)x^n=1(1-x)^2

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