Expanda f(z)=1(z-2)(z-1)^3 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z-1|<1

Passo 1

A questão pede para expandir f(z)=1/((z−2)(z−1)³) em uma série de Laurent centrada em z=1, válida para 0<|z−1|<1; vamos usar a definição de série de Laurent e a expansão em série geométrica.

Passo 2

Definimos w=z−1 para viajar até o centro da expansão. Então temos z−2=(z−1)−1=w−1. Logo
f(z)=1(z−2)(z−1)^3=1w^3cdot1w−1=1w^3cdot1-(1−w)=-1w^3,11−w

Passo 3

Agora usamos a série geométrica válida para |w|<1:
11−w=sumn=0^inftyw^n

Passo 4

Multiplicando pelo fator −w^{−3} obtemos
f(z)=-w^-3sumn=0^inftyw^n=-sumn=0^inftyw^n-3

Passo 5

Basta então reindexar ou escrever os primeiros termos da série em w=z−1:
f(z)=-sumk=-3^infty(z−1)^k=-(z−1)^-3-(z−1)^-2-(z−1)^-1-1-(z−1)-cdots.

Resposta

f(z)=-sumn=0^infty(z-1)^n-3=-(z-1)^-3-(z-1)^-2-(z-1)^-1-1-(z-1)-cdots

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