Expanda
em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
válida para 0<|z-2|<1, ou seja, em torno de z=2, excluindo o ponto z=2 e até que |z-2| seja menor que a distância até a próxima singularidade (em z=1). Vamos usar o deslocamento w=z-2 e aplicar a série geométrica.
Passo 2
Definimos
. Então
Essa reformulação centraliza a expansão em torno de w=0 (isto é, z=2).
Passo 3
Para tratar
como uma série em potências de w válida para |w|<1, usamos a soma da série geométrica:
que converge exatamente quando |w|<1.
Passo 4
Agora escrevemos
[f(z)=\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{w+1}=\frac{1}{w}\sum_{n=0}{\infty}(-1)n wn=\sum_{n=0}{\infty}(-1)^n w^{n-1}.
Passo 5
Reescrevendo em termos de z (ou seja, w=z-2) e separando alguns termos iniciais, obtemos a série de Laurent:
válida para 0<|z-2|<1.