Expanda f(z)=1(z-1)(z-2) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z-2|<1

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=1(z-1)(z-2)
válida para 0<|z-2|<1, ou seja, em torno de z=2, excluindo o ponto z=2 e até que |z-2| seja menor que a distância até a próxima singularidade (em z=1). Vamos usar o deslocamento w=z-2 e aplicar a série geométrica.

Passo 2

Definimos w=z-2. Então
f(z)=1(z-1)(z-2)=1l((w+2)-1r),w=1(w+1),w
Essa reformulação centraliza a expansão em torno de w=0 (isto é, z=2).

Passo 3

Para tratar 1/(w+1) como uma série em potências de w válida para |w|<1, usamos a soma da série geométrica:
1w+1=11+ w=sumn=0^infty(-1)^n w^n,
que converge exatamente quando |w|<1.

Passo 4

Agora escrevemos
[f(z)=\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{w+1}=\frac{1}{w}\sum_{n=0}{\infty}(-1)n wn=\sum_{n=0}{\infty}(-1)^n w^{n-1}.

Passo 5

Reescrevendo em termos de z (ou seja, w=z-2) e separando alguns termos iniciais, obtemos a série de Laurent:
f(z)=1z-2-1+(z-2)-(z-2)^2+(z-2)^3-cdots
válida para 0<|z-2|<1.

Resposta

f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(z-2)^n-1=1z-2-1+(z-2)-(z-2)^2+(z-2)^3-cdots

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