Expanda e simplifique.
(x+7)(\sqrt{6 x}-\sqrt{5})

Passo 1

O enunciado pede que a gente expanda e simplifique a expressão (x+7)(\sqrt{6 x}-\sqrt{5}).
Informações dadas:
  • A expressão a manipular é (x+7)(\sqrt{6 x}-\sqrt{5}).
  • O objetivo é distribuir e simplificar usando propriedades de radicais e potências.

Passo 2

Regra que vamos usar: propriedade distributiva. Para quaisquer termos a,b,c,d vale
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Aqui temos a=x, b=7, c=\sqrt{6x} e d=-\sqrt{5}. Vamos aplicar a distributiva termo a termo.

Passo 3

Aplicando a distributiva obtemos quatro produtos:
(x+7)(\sqrt{6x}-\sqrt{5}) = x\cdot\sqrt{6x} - x\cdot\sqrt{5} + 7\cdot\sqrt{6x} - 7\cdot\sqrt{5}.
Escrevendo em ordem:
x\sqrt{6x} - x\sqrt{5} + 7\sqrt{6x} - 7\sqrt{5}.

Passo 4

Agora vamos simplificar termos que envolvem radicais. Use duas propriedades úteis:
  • \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}.
  • x=\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2, então x\sqrt{x}=x^{3/2} e \sqrt{x}=x^{1/2}.
Aplicando \sqrt{6x}=\sqrt{6}\,\sqrt{x}, temos
x\sqrt{6x}=x\cdot\sqrt{6}\,\sqrt{x}=\sqrt{6}\,x\sqrt{x}.
E como x\sqrt{x}=x^{3/2}, segue
x\sqrt{6x}=\sqrt{6}\,x^{3/2}.

Passo 5

Analogamente,
7\sqrt{6x}=7\sqrt{6}\,\sqrt{x}=7\sqrt{6}\,x^{1/2}.
Os termos com \sqrt{5} não têm fator x dentro do radical, então permanecem como x\sqrt{5} e 7\sqrt{5}.

Passo 6

Substituindo as simplificações na expressão expandida obtemos a forma final simplificada:
\sqrt{6}\,x^{3/2}+7\sqrt{6}\,x^{1/2}-x\sqrt{5}-7\sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{6}\,x^{3/2}+7\sqrt{6}\,x^{1/2}-x\sqrt{5}-7\sqrt{5}

Exercícios relacionados