De um petroleiro quebrado vaza um grande volume
de óleo num mar calmo. Após a turbulência inicial ter acabado, o petróleo se expande num contorno circular de raio
e espessura uniforme
, onde
cresce e
de cresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo. Experiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido:
. Mostre que a taxa
com que o petróleo se expande é inversamente proporcional a
.
Passo 1
O enunciado diz que um volume constante de óleo V se espalha formando um disco de raio r e espessura h(t), e que h(t)=c/√t. Para resolver, vamos usar a conservação de volume e cálculo de derivada.
Passo 2
Como o volume V é constante, temos a relação
Substituindo h= c t^{-1/2}, fica
Passo 3
Isolando r^2 em função de t, obtemos
Logo
Passo 4
Agora derivamos r(t) em relação a t: como r=K t^{1/4} com K=
^{1/2}, temos
Isso mostra que dr/dt é proporcional a t^{-3/4}.