De um petroleiro quebrado vaza um grande volume V de óleo num mar calmo. Após a turbulência inicial ter acabado, o petróleo se expande num contorno circular de raio r e espessura uniforme h, onde r cresce e h de cresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo. Experiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido: h=craizt. Mostre que a taxa d rd t com que o petróleo se expande é inversamente proporcional a t^3 / 4.

Passo 1

O enunciado diz que um volume constante de óleo V se espalha formando um disco de raio r e espessura h(t), e que h(t)=c/√t. Para resolver, vamos usar a conservação de volume e cálculo de derivada.

Passo 2

Como o volume V é constante, temos a relação
V=áreatimesespessura=pi r^2,há
Substituindo h= c t^{-1/2}, fica
V=pi r^2,c,t^-1/2

Passo 3

Isolando r^2 em função de t, obtemos
r^2=Vpi c;t^1/2
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r=raizVpi c;t^1/4

Passo 4

Agora derivamos r(t) em relação a t: como r=K t^{1/4} com K= V/(pi c)^{1/2}, temos
drdt=Kcdot14,t^-3/4=14raizVpi c;t^-3/4
Isso mostra que dr/dt é proporcional a t^{-3/4}.

Resposta

drdtpropto t^-3/4

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