A expansão em série de Maclaurin da função é dada por
Use a equação anterior para calcular o valor de para os seguintes casos. Utilize o formato decimal com seis dígitos significativos (aplique arredondamento em cada etapa). Calcule também o erro relativo de truncamento. Use o Scilab ou Octave (formato longo) para calcular o valor verdadeiro de .
a) Use os primeiros 2 termos.
b) Use os primeiros 4 termos.
c) Use os primeiros 6 termos.
d) Use os primeiros 8 termos.
e) Use os primeiros 10 termos.
f) Monte uma tabela com os termos, resultado do cálculo e erro relativo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente aproxime
usando apenas os primeiros , , , e termos dessa série de Maclaurin, arredondando a seis dígitos significativos em cada etapa, e em seguida calcule o erro relativo de truncamento em cada caso. Vamos precisar também do valor “verdadeiro” de com alta precisão para comparar.
Passo 2
Encontramos o valor exato (no Scilab/Octave em formato longo)
Arredondando a seis dígitos significativos, temos
Passo 3
Definimos a soma parcial com termos
e o erro relativo
Em cada soma parcial vamos: 1. calcular cada termo tfrac(-2)^ii! e arredondar a seis dígitos significativos, 2. adicionar ao acumulado e arredondar o resultado parcial a seis dígitos significativos.
Passo 4
Calculamos Sn para n=1,3,5,7,9 (que são 2,4,6,8,10 termos):
Agora calculamos o erro relativo em cada caso e montamos a tabela:
Termos
Aproximação Sn
Erro Relativo varepsilonrel
2
-1,00000
8,38910
4
-0,333330
3,46216
6
0,066670
0,507551
8
0,130162
0,038226
10
0,135100
0,001737
Resposta
Veja acima a tabela com o número de termos usados, o valor aproximado de e^-2 arredondado a seis dígitos significativos e o erro relativo correspondente.