A expansão em série de Maclaurin da função f(x)=e^x é dada por
f(x)=e^x=1+x+x^22!+x^33!+x^44!+x^55!+ldots+x^nn! e^x cong sumi=0^n x^nn!
Use a equação anterior para calcular o valor de e^-2 para os seguintes casos. Utilize o formato decimal com seis dígitos significativos (aplique arredondamento em cada etapa). Calcule também o erro relativo de truncamento. Use o Scilab ou Octave (formato longo) para calcular o valor verdadeiro de e^-2.
a) Use os primeiros 2 termos.
b) Use os primeiros 4 termos.
c) Use os primeiros 6 termos.
d) Use os primeiros 8 termos.
e) Use os primeiros 10 termos.
f) Monte uma tabela com os termos, resultado do cálculo e erro relativo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime
e^-2=sumi=0^infty(-2)^ii!
usando apenas os primeiros 2, 4, 6, 8 e 10 termos dessa série de Maclaurin, arredondando a seis dígitos significativos em cada etapa, e em seguida calcule o erro relativo de truncamento em cada caso. Vamos precisar também do valor “verdadeiro” de e^-2 com alta precisão para comparar.

Passo 2

Encontramos o valor exato (no Scilab/Octave em formato longo)
e^-2approx0,1353352832366127
Arredondando a seis dígitos significativos, temos
valor real = 0,135335

Passo 3

Definimos a soma parcial com n+1 termos
Sn=sumi=0^n(-2)^ii!
e o erro relativo
varepsilonrel=l|Sn-valor realr|l|valor realr|
Em cada soma parcial vamos:
1. calcular cada termo tfrac(-2)^ii! e arredondar a seis dígitos significativos,
2. adicionar ao acumulado e arredondar o resultado parcial a seis dígitos significativos.

Passo 4

Calculamos Sn para n=1,3,5,7,9 (que são 2,4, 6,8, 10 termos):
– Para n=1 ( 2 termos)
t0 = 1,00000 t1 = -2,00000 S1 = 1,00000 +(-2,00000) = -1,00000
– Para n=3 ( 4 termos)
t2 = 2,00000 t3 = -1,33333 S2 = -1,00000 + 2,00000 = 1,00000 S3 = 1,00000 +(-1,33333) = -0,333330
– Para n=5 ( 6 termos)
t4 = 0,666667 t5 = -0,266667 S4 = -0,333330 + 0,666667 = 0,333337 S5 = 0,333337 +(-0,266667) = 0,066670
– Para n=7 ( 8 termos)
t6 = 0,0888889 t7 = -0,0253968 S6 = 0,066670 + 0,0888889 = 0,155559 S7 = 0,155559 +(-0,0253968) = 0,130162
– Para n=9 ( 10 termos)
t8 = 0,00634921 t9 = -0,00141099 S8 = 0,130162 + 0,00634921 = 0,136511 S9 = 0,136511 +(-0,00141099) = 0,135100

Passo 5

Agora calculamos o erro relativo em cada caso e montamos a tabela:
Termos Aproximação Sn Erro Relativo varepsilonrel
2 -1,00000 8,38910
4 -0,333330 3,46216
6 0,066670 0,507551
8 0,130162 0,038226
10 0,135100 0,001737

Resposta

Veja acima a tabela com o número de termos usados, o valor aproximado de e^-2 arredondado a seis dígitos significativos e o erro relativo correspondente.

Exercícios relacionados