Na matemática, funções podem ser representadas por séries infinitas. Há diversas séries infinitas, uma muito comum na engenharia é a série de Taylor. A expansão em série de Taylor de cos (x) é dado por
cos (x)=1-x^22!+x^44!-x^66!+x^88!-x^1010!+ldots
Use os três primeiros termos da equação anterior para calcular o valor de cos (pi / 4). Utilize o formato decimal com seis dígitos significativos (aplique arredondamento em cada etapa). Calcule o erro relativo de truncamento.

Passo 1

O enunciado pede aproximar cos(pi/4) usando os três primeiros termos da série de Taylor em torno de x=0, ou seja
cos(x)approx 1 - x^22! + x^44!
Em seguida, devemos arredondar em cada etapa para seis dígitos significativos e calcular o erro relativo de truncamento, comparando com o valor exato cos(pi/4)=raiz2/2.

Passo 2

Escrevendo explicitamente os três termos que vamos usar:
T0 = 1, T1 = -x^22!, T2 = x^44!

Passo 3

Primeiro aproximamos
x = pi4approx 0.785398(6 dígitos significativos) í
Então
x^2 = (0.785398)^2 approx 0.616860(6 dígitos), í
e
T1 = -x^22 = -0.6168602 = -0.308430(6 dígitos) í

Passo 4

Em seguida
x^4 = (x^2)^2 = (0.616860)^2 approx 0.380516(6 dígitos), í
e
T2 = x^424 = 0.38051624 approx 0.0158548(6 dígitos) í

Passo 5

Agora somamos os termos com arredondamento em cada passo:
S1 = 1.00000 + (-0.308430) = 0.691570(6 dígitos), í
S2 = 0.691570 + 0.0158548 = 0.7074248 ;longrightarrow;0.707425(6 dígitos) í
Logo a aproximação é
cos(pi/4)approx 0.707425

Passo 6

O valor exato é
cos(pi/4) = raiz22approx 0.707107(6 dígitos) í
O erro relativo de truncamento vale
er = l|0.707425 - 0.707107r|0.707107 approx 0.0003180.707107approx 4,50times10^-4

Resposta

cos(pi/4)approx0.707425,
erro relativo de truncamento erapprox4,50times10^-4.

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