Em uma experiência de capilaridade, deseja-se calcular a altura \Delta h que dois fluidos vão se mover em relação a um tubo capilar de vidro de 0,12 \mathrm{~mm} de diâmetro.
a) Qual o \Delta h se o fluido for água?
\rho_{\text {agua }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \theta=0^{\circ} ; \sigma=0,0728 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
b) Qual o \Delta h se o fluido for mercúrio?
\rho_{\mathrm{Hg}}=13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \theta=140^{\circ} ; \sigma=0,485 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
c) Qual fluido vai sofrer ascensão capilar, e qual vai sofrer depressão capilar?
Por que existe essa diferença?

Passo 1

O enunciado pede calcular a altura \Delta h de elevação ou depressão capilar em um tubo de vidro de diâmetro d=0,12\\ \mathrm{mm} para dois fluidos distintos e dizer qual sofre ascensão e qual sofre depressão, além de explicar o porquê. Os dados fornecidos são:
  • Para a água:
    • \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á
    • \theta = 0^{\circ}
    • \sigma = 0,0728\\ \mathrm{N/m}
  • Para o mercúrio:
    • \rho_{\mathrm{Hg}} = 13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}
    • \theta = 140^{\circ}
    • \sigma = 0,485\\ \mathrm{N/m}
  • Diâmetro do tubo: d = 0,12\\ \mathrm{mm}.
  • A pergunta (c) também pede justificar por que um sobe e o outro desce.

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona tensão superficial, ângulo de contato e elevação capilar; derivação física (balanço de forças).
  • Ideia física: a componente vertical da força de tensão superficial ao longo da linha de contato puxa o líquido para cima (ou empurra para baixo, se \cos\theta<0). Essa força vertical deve equilibrar o peso da coluna de líquido que sobe (ou a depressão criada).
  • Considere um tubo capilar de raio r molhado pelo líquido até uma altura \Delta h. A força vertical total da tensão superficial ao longo da circunferência é
F_{\text{tensão}} = (2\pi r)\,\sigma\,\cos\theta,ã
onde:
  • 2\pi r é o comprimento da circunferência interior do tubo,
  • \sigma é a tensão superficial,
  • \cos\theta é a componente vertical da força por unidade de comprimento (ângulo de contato \theta medido no líquido).
  • O peso da coluna de líquido de altura \Delta h é
W = \text{massa}\times g = (\rho\,\pi r^{2}\,\Delta h)\,g,
onde:
  • \rho é a densidade do líquido,
  • \pi r^{2} é a área da seção transversal,
  • g é a aceleração da gravidade.
  • Igualando as duas (situação de equilíbrio):
(2\pi r)\,\sigma\,\cos\theta = \rho\,\pi r^{2}\,\Delta h\,g.
  • Simplificando e isolando \Delta h:
\Delta h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}.
Essa é a fórmula que usaremos. Observações importantes:
  • Se \cos\theta>0 (ângulo de contato \theta<90^\circ), então \Delta h>0: elevação (ascensão).
  • Se \cos\theta<0 (ângulo de contato \theta>90^\circ), então \Delta h<0: depressão.

Passo 3

Converter dados e calcular o raio do tubo em metros; fixar g.
  • Diâmetro d = 0,12\\ \mathrm{mm}. Converter para metros:
d = 0,12\\ \mathrm{mm} = 0,12\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1,2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{1,2\times10^{-4}}{2} = 6,0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Usar g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Calcular \Delta h para a água usando a fórmula \Delta h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}.
  • Para a água \theta = 0^{\circ}\Rightarrow \cos\theta = \cos(0^{\circ}) = 1.
  • Substituindo os valores:
\Delta h_{\text{água}} = \frac{2\cdot 0,0728\cdot 1}{1000\cdot 9,81\cdot (6,0\times10^{-5})}.á
  • Calcular passo a passo:
    • Numerador: 2\cdot 0,0728 = 0,1456.
    • Produto \rho\cdot r = 1000\cdot 6,0\times10^{-5} = 0,06.
    • Denominador completo: 0,06\cdot 9,81 = 0,5886.
    • Dividindo:
\Delta h_{\text{água}} = \frac{0,1456}{0,5886} \approx 0,2474\\ \mathrm{m}.á
  • Converter para centímetros: 0,2474\\ \mathrm{m} \approx 24,7\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular \Delta h para o mercúrio.
  • Para o mercúrio \theta = 140^{\circ}. Primeiro determinar \cos(140^{\circ}).
    • Note que \cos(140^{\circ}) = \cos(180^{\circ}-40^{\circ}) = -\cos(40^{\circ}).
    • \cos(40^{\circ}) \approx 0,7660, então \cos(140^{\circ}) \approx -0,7660.
  • Substituir na fórmula:
\Delta h_{\mathrm{Hg}} = \frac{2\cdot 0,485\cdot \cos(140^{\circ})}{13600\cdot 9,81\cdot (6,0\times10^{-5})}.
  • Calcular passo a passo:
    • 2\cdot 0,485 = 0,97.
    • Numerador: 0,97\cdot(-0,7660) \approx -0,7430.
    • Produto \rho\cdot r = 13600\cdot 6,0\times10^{-5} = 0,816.
    • Denominador completo: 0,816\cdot 9,81 = 8,00496.
    • Dividindo:
\Delta h_{\mathrm{Hg}} = \frac{-0,7430}{8,00496} \approx -0,0928\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros: -0,0928\\ \mathrm{m} \approx -9,28\\ \mathrm{cm}.
O sinal negativo indica depressão (o nível fica abaixo do nível do reservatório).

Passo 6

Interpretação física e resposta à pergunta (c): qual sobe e qual desce; razão qualitativa.
  • Resultado numérico:
    • Água: \Delta h_{\text{água}}\approx +0,247\\ \mathrm{m}á (elevação de cerca de 24,7\\ \mathrm{cm}).
    • Mercúrio: \Delta h_{\mathrm{Hg}}\approx -0,0928\\ \mathrm{m} (depressão de cerca de 9,28\\ \mathrm{cm}).
  • Por que essa diferença?
    • O sinal de \Delta h depende de \cos\theta. Se \theta<90^{\circ} (molhamento), então \cos\theta>0 e a tensão superficial puxa o líquido para cima (ascensão). A água tem \theta=0^{\circ} (molha o vidro), logo sobe.
    • Se \theta>90^{\circ} (não molha), então \cos\theta<0 e a componente vertical da tensão superficial empurra o líquido para baixo em relação ao nível externo (depressão). O mercúrio tem \theta=140^{\circ} (não molha o vidro), logo sofre depressão.
    • Além do sinal, a magnitude depende de \sigma e \rho: mercúrio tem tensão superficial maior, o que aumentaria a altura, mas também tem densidade muito maior (e \cos\theta negativo), de modo que resulta numa depressão de magnitude menor (em módulo) que a elevação da água neste caso específico de raio do tubo.

Resposta

(a) \Delta h_{\text{água}} \approx 0,247\\ \mathrm{m}á (ou 24,7\\ \mathrm{cm} de elevação).
(b) \Delta h_{\mathrm{Hg}} \approx -0,0928\\ \mathrm{m} (ou -9,28\\ \mathrm{cm}; depressão).
(c) Água: ascensão capilar. Mercúrio: depressão capilar. Porque a água tem ângulo de contato \theta<90^{\circ} (molha o vidro, \cos\theta>0) resultando em força vertical para cima; o mercúrio tem \theta>90^{\circ} (não molha, \cos\theta<0) resultando em força vertical para baixo.

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