Problem 13. The surface of a thin-walled cubic insulating (non-conducting) box is given a uniformly distributed positive surface charge. Which one of the following can be inferred about the electric field everywhere inside the insulating box due to this surface charge using Gauss’s law?
(a) Its magnitude everywhere inside must be zero.
(b) Its magnitude everywhere inside must be nonzero but uniform (the same).
(c) Its direction everywhere inside must be radially outward from the center of the box.
(d) Its direction everywhere inside must be perpendicular to one of the sides.
(e) None of the above.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
Temos uma caixa cúbica de parede muito fina (isso significa que toda a carga está sobre a superfície externa da caixa).
A superfície da caixa recebe uma carga positiva distribuída uniformemente (densidade superficial constante).
A caixa é isolante (não há condução que force redistribuições especiais internas).
A pergunta é: com base na Lei de Gauss, qual das alternativas abaixo podemos inferir sobre o campo elétrico em todo o interior da caixa, devido a essa carga na superfície?
(a) o módulo é zero em todo interior;
(b) o módulo é não nulo e uniforme em todo interior;
(c) a direção é radial saindo do centro;
(d) a direção é perpendicular a uma das faces;
(e) nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 2
Apresento a ferramenta que usamos e o que ela significa (aqui explico a fórmula e cada símbolo). A Lei de Gauss diz:
\mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície fechada S,
d\mathbf{A} é o vetor área elementar (módulo igual à área do elemento e direção normal para fora da superfície),
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo total do campo através da superfície fechada S,
Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro de S, e
\varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
Interpretação curta e didática: a Lei de Gauss relaciona fluxo total do campo por uma superfície fechada ao total de carga que está dentro dessa superfície. Importante: a lei é sempre verdadeira, mas só nos dá diretamente o valor do campo em pontos específicos quando temos simetrias que permitem relacionar o fluxo com o valor pontual de \mathbf{E} (por exemplo: esfera com distribuição esférica, cilindro com simetria cilíndrica, plano infinito com simetria plana).
Passo 3
Aplicação imediata ao nosso problema (consequência direta e simples). Como toda a carga está na superfície da caixa e qualquer superfície fechada que fiquemos desenhando estritamente dentro da caixa não inclui carga no seu interior, temos para qualquer superfície fechada inteiramente contida no interior:
Isso é uma afirmação sólida e que decorre imediatamente dos dados do enunciado. Vou explicar o que isso implica (e o que não implica): a lei garante que o fluxo total através de qualquer superfície fechada dentro da caixa é zero. Mas fluxo zero não equivale necessariamente a \mathbf{E}=\mathbf{0} ponto a ponto — pode haver regiões onde o campo aponta para dentro e outras onde aponta para fora, de modo que as contribuições se cancelem.
Passo 4
Mostro por que o fato do fluxo ser zero não prova que o campo seja zero em todo lugar (um exemplo mental). Imagine dentro da caixa um campo que em uma metade da superfície fechada seja apontado para fora e na outra metade seja apontado para dentro com magnitudes que se cancelam quando integradas: o fluxo total pode ser zero mesmo com \mathbf{E}\neq\mathbf{0} em muitos pontos. Um exemplo didático (não numérico) é ter linhas de campo que entram por um lado do volume interior e saem por outro; o número líquido de linhas que saem menos o que entram é zero, então o fluxo é zero, mas localmente há campo. Conclusão: a Lei de Gauss (fluxo = carga interna) sozinha, sem simetria extra, não determina \mathbf{E} ponto a ponto.
Passo 5
Uso argumentação por simetria para ver que ao menos um ponto tem campo conhecido. A caixa cúbica tem simetrias: para cada elemento de superfície existe um elemento oposto em relação ao centro da caixa com carga igual, de modo que, no centro da caixa, as contribuições vetoriais de todos os elementos de carga se cancelam. Então podemos afirmar com segurança que
\mathbf{E}\big|_{\text{centro}}=\mathbf{0}.
Explicação: por cada pedaço de superfície em uma direção há um pedaço exatamente oposto com mesma densidade e mesma distância ao centro, o campo gerado por esses dois pedaços no centro é igual em módulo e oposto em direção. Isso vale para todas as direções, então soma zero. Observação didática: esse tipo de cancelamento é clássico — o centro da figura com simetrias de paridade (inversão) fica com campo nulo. Contudo, isso só nos dá o valor no centro, não no restante do interior.
Passo 6
Visto que o campo no centro é zero, já podemos eliminar algumas das alternativas pedidas. A alternativa (b) afirma que o módulo do campo é não nulo e uniforme em todo interior. Como no centro o campo é zero, não pode ser não nulo “em todo interior”. Logo (b) é falsa. A alternativa (a) afirma que o módulo é zero em todo interior; já sabemos pelo argumento do Passo 3 que a Lei de Gauss não força isso e, fisicamente, pontos próximos a uma face sentem o efeito da carga nessa face de forma desequilibrada — então não podemos deduzir que o campo seja zero em todo lugar. Vou justificar isso mais claramente no próximo passo.
Passo 7
Mostro intuitivamente que em pontos próximos a uma face o campo deve ser tipicamente não nulo (contra (a)). Considere um ponto no interior e bem perto de uma das faces carregadas (mas ainda dentro). A contribuição do campo da porção local da face próxima é mais forte do que a contribuição das regiões distantes (porque campo de um elemento de carga decai com a distância). Essa contribuição se soma de modo a produzir um campo apontando aproximadamente perpendicular à face e para o interior (no caso de carga positiva na face externa, o campo no interior, perto da face, aponta para dentro da região interior, pois a carga está fora desse ponto). Uma boa maneira de enxergar isso é aproximar, localmente, a face por um plano carregado: o campo de um plano uniformemente carregado vale aproximadamente \sigma/(2\varepsilon_0) de cada lado; perto da face, a contribuição local não é cancelada perfeitamente pelas partes mais distantes da superfície cúbica. Portanto existem pontos onde \mathbf{E}\neq\mathbf{0}. Conclusão: (a) é falsa.
Passo 8
Discuto por que as alternativas sobre direção também falham.
Sobre (c): dizer que a direção é radial a partir do centro implicaria simetria esférica — isto é, o campo em qualquer ponto interno depende só da distância ao centro e aponta radialmente. A distribuição de carga é sobre uma superfície cúbica, não esférica; não há simetria esférica. Logo não podemos concluir que as linhas de campo dentro sejam radiais. Além disso, no centro o campo é zero, e em pontos próximos a uma face a direção tende a ser quase perpendicular à face (não necessariamente radial). Assim (c) é falso.
Sobre (d): afirmar que em todo lugar a direção é perpendicular a uma das faces é também demasiado restritivo — em regiões próximas a arestas ou cantos, a direção resultante vem da soma das contribuições das faces vizinhas e não será, em geral, exatamente perpendicular a alguma face. Portanto (d) também é falso.
Passo 9
Síntese e conclusão lógica: da aplicação correta da Lei de Gauss e do raciocínio por simetria/localidade, o que sabemos com certeza é que o fluxo por qualquer superfície inteiramente dentro é zero e que o campo no centro é zero. Mas nada disso nos permite afirmar que o campo seja zero em todo o interior, nem que seja uniforme, nem que seja radial, nem que seja sempre perpendicular a uma face. Assim nenhuma das alternativas (a)–(d) é uma inferência válida que decorra da Lei de Gauss para este caso. A única resposta correta entre as oferecidas é a (e).