Problem 6. Choose all of the following statements that must be true about a Gaussian surface in order for Gauss’s law to be convenient for calculating the electric field at a point on the surface:
(a) (i) only.
(b) (ii) only.
(c) (iii) only.
(d) (i) and (ii) only.
(e) (i) and (iii) only.
(i) The electric field direction should be easy to predict at every point on the surface.
(ii) The Gaussian surface must be chosen to take advantage of the symmetry of the charge distribution.
(iii) The Gaussian surface must be chosen to take advantage of the symmetry of the object enclosed inside it regardless of how the charges are distributed on that object.
(a) (i) only.
(b) (ii) only.
(c) (iii) only.
(d) (i) and (ii) only.
(e) (i) and (iii) only.
(i) The electric field direction should be easy to predict at every point on the surface.
(ii) The Gaussian surface must be chosen to take advantage of the symmetry of the charge distribution.
(iii) The Gaussian surface must be chosen to take advantage of the symmetry of the object enclosed inside it regardless of how the charges are distributed on that object.
Passo 1
O enunciado pede que você escolha todas as afirmações que têm de ser verdadeiras sobre uma superfície gaussiana para que a Lei de Gauss seja conveniente para calcular o campo elétrico num ponto sobre essa superfície. As três afirmações dadas são:
(i) A direção do campo elétrico deve ser fácil de prever em cada ponto da superfície.
(ii) A superfície gaussiana deve ser escolhida para aproveitar a simetria da distribuição de carga.
(iii) A superfície gaussiana deve ser escolhida para aproveitar a simetria do objeto contido nela independentemente de como as cargas estão distribuídas nesse objeto.
(ii) A superfície gaussiana deve ser escolhida para aproveitar a simetria da distribuição de carga.
(iii) A superfície gaussiana deve ser escolhida para aproveitar a simetria do objeto contido nela independentemente de como as cargas estão distribuídas nesse objeto.
O objetivo é justificar quais dessas afirmações são necessárias para que o uso da Lei de Gauss seja realmente conveniente (ou seja, para que a integral de fluxo resulte numa equação útil e simples para
).
Passo 2
Apresentando a Lei de Gauss e o que ela diz, bem devagar e com carinho:
A Lei de Gauss afirma
A Lei de Gauss afirma
onde
é o campo elétrico,
é o vetor área (magnitude igual à área infinitesimal e direção normal externa à superfície
),
é a carga total contida dentro da superfície
e
é a permissividade do vácuo. Essa fórmula é sempre verdadeira, mas para extrair
de forma simples precisamos que o lado esquerdo seja fácil de calcular e relacionar diretamente com
.
Explicando as variáveis:
varia ponto a ponto;
aponta normal à superfície em cada ponto; o produto escalar
depende da magnitude de
, da área e do ângulo entre
e
.
Passo 3
Qual é a condição para que a integral de superfície dê uma expressão simples que permita resolver para
?
Para tornar a integral simples costumamos querer que, em cada parte relevante da superfície:
Para tornar a integral simples costumamos querer que, em cada parte relevante da superfície:
- a direção de
seja conhecida em relação ao vetor área (por exemplo paralelo ou perpendicular a ), e - a magnitude de
seja constante (ou então zero) sobre a parte considerada, de modo que possamos tirar da integral.
Quando essas condições se cumprem, a integral
reduz-se a algo como
, e daí resolvemos
facilmente. Por isso a simetria é o ingrediente mágico: ela garante direção previsível e igualdade de magnitude em pontos equivalentes.
Passo 4
Analisando a afirmação (i): “A direção do campo elétrico deve ser fácil de prever em cada ponto da superfície.”
Por que isso é necessário? Se a direção de variar de forma desconhecida em cada ponto, o produto
não tem forma simples e a integral fica intratável. Em problemas padrão (carga puntiforme no centro de uma esfera, linha infinita, plano infinito), sabemos que
é radial ou normal — então
. Portanto (i) é uma condição que deve ser satisfeita para que a aplicação seja conveniente.
Por que isso é necessário? Se a direção de
Exemplo concreto e didático: carga puntiforme
no centro de uma superfície esférica de raio
. Por simetria
é radial e tem mesma magnitude em toda a esfera. Assim
daí
Vai ficar impossível fazer isso se não conseguirmos prever a direção de
. Conclusão: (i) é necessária.
Passo 5
Analisando a afirmação (ii): “A superfície gaussiana deve ser escolhida para aproveitar a simetria da distribuição de carga.”
Isto é praticamente a receita do sucesso da Lei de Gauss. A simetria da distribuição de carga (esférica, cilíndrica, planar invariantes, etc.) garante que tenha direção e magnitude simples sobre superfícies escolhidas de acordo com essa simetria. Exemplos típicos:
Isto é praticamente a receita do sucesso da Lei de Gauss. A simetria da distribuição de carga (esférica, cilíndrica, planar invariantes, etc.) garante que
- Carga com simetria esférica → escolher superfície esférica coaxial.
- Linha infinita com densidade uniforme → escolher superfície cilíndrica coaxial.
- Plano infinito com densidade superficial uniforme → escolher superfície prismática que cruza o plano (p.ex. caixa gaussiana) de modo a usar lados onde
é perpendicular e constantes.
Sem aproveitar a simetria da distribuição de carga, em geral
não será constante nem terá direção simples, e a integral não se reduz a uma expressão útil. Logo (ii) é necessária.
Passo 6
Analisando a afirmação (iii): “A superfície gaussiana deve ser escolhida para aproveitar a simetria do objeto contido nela independentemente de como as cargas estão distribuídas no objeto.”
Aqui precisamos ser cuidadosos: a Lei de Gauss depende da distribuição de carga, não apenas da forma geométrica do objeto. Se o objeto contido tem forma simétrica mas as cargas sobre/naquele objeto não respeitam a mesma simetria, o campo não será simétrico. Portanto escolher uma superfície que tira vantagem só da simetria geométrica do objeto, ignorando a distribuição de carga, não garante que seja simples.
Aqui precisamos ser cuidadosos: a Lei de Gauss depende da distribuição de carga, não apenas da forma geométrica do objeto. Se o objeto contido tem forma simétrica mas as cargas sobre/naquele objeto não respeitam a mesma simetria, o campo não será simétrico. Portanto escolher uma superfície que tira vantagem só da simetria geométrica do objeto, ignorando a distribuição de carga, não garante que
Contraexemplo claro e didático: imagine uma superfície esférica que contém duas cargas puntiformes internas não colocadas no centro e não distribuídas de forma uniforme. Mesmo que a esfera que contém as cargas seja geometricamente simétrica, o campo gerado pelas cargas não é radial uniforme na superfície. A Lei de Gauss ainda dá o fluxo igual à carga total
dividida por
, mas isso não permite extrair
num ponto da superfície porque
não é constante nem tem direção simplesmente previsível. Ou seja, a simetria do “objeto” é irrelevante se as cargas não respeitarem a mesma simetria. Portanto (iii) é falsa.
Passo 7
Resumindo a lógica:
- (i) é necessária: sem conhecer a direção do campo em cada ponto não dá para simplificar a integral de fluxo.
- (ii) é necessária: precisamos escolher a superfície de acordo com a simetria da distribuição de carga para que o campo seja simples (constante em partes, direção conhecida).
- (iii) é falsa: a simetria relevante é a da distribuição de carga, não apenas a forma do objeto contido; se as cargas não obedecem à simetria geométrica, não temos simplificação útil.
Também dou dois exemplos rápidos para fixar:
- Bom caso: carga puntiforme
exatamente no centro — superfície esférica coaxial → fácil, radial e constante em módulo na esfera. - Caso ruim: duas cargas internas deslocadas → mesmo com uma esfera ao redor,
na superfície varia e não dá para obter por Gauss sem resolver diretamente o campo.
Resposta
(d)