A experiência mostra que a cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligada. Qual a probabilidade de que numa instalação de:
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem? R: 0,046

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, em média, de cada 400 lâmpadas, 2 acabam se queimando quando ligadas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em uma instalação com 900 lâmpadas, exatamente 8 delas se queimarem. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuições de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a taxa de queima das lâmpadas. Se 2 em 400 queimam, a probabilidade de uma única lâmpada queimar é:
p = 2400 = 0,005
Isso significa que cada lâmpada tem 0,5% de chance de queimar quando ligada.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 8 lâmpadas queimarem em uma instalação de 900. Aqui, estamos lidando com um evento raro (p=0,005) e um grande número de tentativas (n=900). Quando temos essas condições, podemos usar a Distribuição de Poisson como uma boa aproximação para resolver o problema.

Passo 4

A Distribuição de Poisson é útil para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando os eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente uns dos outros.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda cdot lambda^kk!
onde:
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (n * p),
  • $ k $ é o número de eventos que queremos que ocorram,
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).

Passo 5

Vamos calcular $ \lambda $:
lambda
Isso significa que, em média, esperamos que 4,5 lâmpadas queimem em uma instalação de 900.

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de exatamente 8 lâmpadas queimarem ($ k = 8 $):
k = 8
Vamos calcular cada parte:
  1. Calcular $ e^{-4,5} $:
    P(X = 8) = e^-4,5 cdot 4,5^88!
  2. Calcular $ 4,5^{8} $:
    e^-4,5
  3. Calcular $ 8! $ (fatorial de 8):
    e^-4,5 approx 0,0111
  4. Agora, substituir esses valores na fórmula:
    4,5^8

Passo 7

Parece que o resultado ficou menor que o esperado. Na verdade, para uma melhor precisão, podemos usar uma calculadora científica ou um software para calcular a expressão:
P(X = 8) = e^-4,5 cdot 4,5^88! approx 0,046
Isso significa que a probabilidade de exatamente 8 lâmpadas queimarem em uma instalação de 900 é de aproximadamente 4,6%.

Resposta

A probabilidade de que, numa instalação de 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem é aproximadamente 0,046 ou 4,6%.

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