Uma fábrica de motores para máquinas de lavar separa de sua linha de produção diária de 350 peças uma amostra de 30 itens para inspeção. O número de peças defeituosas é de 14 por dia. Qual a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos? R: 0,10843
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma fábrica que produz 350 motores por dia, e diariamente 14 desses motores são defeituosos. A gente quer saber qual a probabilidade de, ao selecionar uma amostra de 30 motores, pelo menos 3 deles sejam defeituosos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações onde tiramos uma amostra sem reposição de uma população finita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- População total (N): 350 motores
- Número de defeituosos na população (D): 14 motores
- Tamanho da amostra (n): 30 motores
- Número mínimo de defeituosos na amostra (k): 3 motores
Passo 3
A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k itens com uma certa característica em uma amostra sem reposição. A fórmula é:
Onde
representa o coeficiente binomial, ou seja, o número de maneiras de escolher b itens de a.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de pelo menos 3 motores defeituosos, precisamos calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 defeituosos na amostra e depois subtrair isso de 1:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- P(X = 0):
- P(X = 1):
- P(X = 2):
Somando essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ter pelo menos 3 motores defeituosos na amostra é:
Resposta
A probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos é aproximadamente 0,1075.