Uma fábrica de motores para máquinas de lavar separa de sua linha de produção diária de 350 peças uma amostra de 30 itens para inspeção. O número de peças defeituosas é de 14 por dia. Qual a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos? R: 0,10843

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma fábrica que produz 350 motores por dia, e diariamente 14 desses motores são defeituosos. A gente quer saber qual a probabilidade de, ao selecionar uma amostra de 30 motores, pelo menos 3 deles sejam defeituosos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações onde tiramos uma amostra sem reposição de uma população finita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • População total (N): 350 motores
  • Número de defeituosos na população (D): 14 motores
  • Tamanho da amostra (n): 30 motores
  • Número mínimo de defeituosos na amostra (k): 3 motores

Passo 3

A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k itens com uma certa característica em uma amostra sem reposição. A fórmula é:
P(X = k) = dbinomDk dbinomN - Dn - kdbinomNn
Onde dbinomab representa o coeficiente binomial, ou seja, o número de maneiras de escolher b itens de a.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de pelo menos 3 motores defeituosos, precisamos calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 defeituosos na amostra e depois subtrair isso de 1:
P(X >= 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. P(X = 0):
P(X = 0) = dbinom140 dbinom33630dbinom35030 approx 0,2134
  1. P(X = 1):
P(X = 1) = dbinom141 dbinom33629dbinom35030 approx 0,3665
  1. P(X = 2):
P(X = 2) = dbinom142 dbinom33628dbinom35030 approx 0,3126
Somando essas probabilidades:
P(X < 3) = 0,2134 + 0,3665 + 0,3126 = 0,8925
Então, a probabilidade de ter pelo menos 3 motores defeituosos na amostra é:
P(X >= 3) = 1 - 0,8925 = 0,1075

Resposta

A probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 3 motores defeituosos é aproximadamente 0,1075.

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