Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos. Os aparelhos são vendidos em lotes com 50 unidades. Um comprador adotou o seguinte procedimento: de cada lote ele testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado. Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso? R: 0,833

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma fábrica que produz refrigeradores, e 20% deles são defeituosos. Os refrigeradores são vendidos em lotes de 50 unidades. O comprador faz o seguinte: ele testa 20 refrigeradores de cada lote e, se encontrar pelo menos 2 defeituosos, ele rejeita o lote inteiro. A questão nos pergunta: se o lote foi aceito, qual é a probabilidade de que exatamente 1 dos 20 refrigeradores testados estava defeituoso?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é útil quando estamos lidando com amostras sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros que vamos precisar:
  • Total de refrigeradores no lote ( N): 50
  • Número de refrigeradores defeituosos no lote ( K): 20% de 50 = 10
  • Tamanho da amostra testada ( n): 20
  • Número de defeituosos na amostra ( k): queremos exatamente 1

Passo 3

A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos (neste caso, refrigeradores defeituosos) em uma amostra de tamanho n extraída de uma população finita de tamanho N que contém exatamente K sucessos.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN-Kn-kdbinomNn
Onde:
  • dbinomKk é o número de maneiras de escolher k defeituosos dentre os K disponíveis.
  • dbinomN-Kn-k é o número de maneiras de escolher n-k não defeituosos dentre os N-K disponíveis.
  • dbinomNn é o número total de maneiras de escolher n refrigeradores dentre os N.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com nossos valores:
P(X = 1) = dbinom101 dbinom4019dbinom5020
Vamos calcular cada parte:
  • dbinom101 = 10
  • dbinom4019 e dbinom5020 são combinações mais complexas, mas podemos usar cálculos ou uma calculadora para encontrar esses valores.

Passo 5

Calculando os valores das combinações:
dbinom4019 = 40!19!(40-19)! = 40!19! cdot 21!
dbinom5020 = 50!20!(50-20)! = 50!20! cdot 30!
Usando uma calculadora ou software de matemática, encontramos que:
dbinom4019 approx 1.353 times 10^11
dbinom5020 approx 4.71 times 10^12

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
P(X = 1) = 10 times 1.353 times 10^114.71 times 10^12 = 1.353 times 10^124.71 times 10^12 approx 0,287

Passo 7

No entanto, esse é apenas a probabilidade de exatamente 1 defeituoso na amostra. A questão nos pede a probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de que exatamente 1 esteja defeituoso dado que o lote foi aceito (ou seja, não teve pelo menos 2 defeituosos).
Primeiro, precisamos calcular a probabilidade de o lote ser aceito, o que significa ter no máximo 1 defeituoso na amostra.
P(aceitar) = P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
Calculamos P(X = 0):
P(X = 0) = dbinom100 dbinom4020dbinom5020 = 1 times 1.378 times 10^114.71 times 10^12 approx 0,0293
Então:
P(aceitar) = 0,0293 + 0,287 = 0,3163
Agora, a probabilidade condicional desejada é:
P(X = 1 mid aceitar) = P(X = 1)P(aceitar) = 0,2870,3163 approx 0,908

Resposta

A probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso, dado que o lote foi aceito, é aproximadamente 0,908.

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