Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos. Os aparelhos são vendidos em lotes com 50 unidades. Um comprador adotou o seguinte procedimento: de cada lote ele testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado. Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso? R: 0,833
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma fábrica que produz refrigeradores, e 20% deles são defeituosos. Os refrigeradores são vendidos em lotes de 50 unidades. O comprador faz o seguinte: ele testa 20 refrigeradores de cada lote e, se encontrar pelo menos 2 defeituosos, ele rejeita o lote inteiro. A questão nos pergunta: se o lote foi aceito, qual é a probabilidade de que exatamente 1 dos 20 refrigeradores testados estava defeituoso?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é útil quando estamos lidando com amostras sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os parâmetros que vamos precisar:
- Total de refrigeradores no lote (
): 50 - Número de refrigeradores defeituosos no lote (
): 20% de 50 = 10 - Tamanho da amostra testada (
): 20 - Número de defeituosos na amostra (
): queremos exatamente 1
Passo 3
A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente
sucessos (neste caso, refrigeradores defeituosos) em uma amostra de tamanho
extraída de uma população finita de tamanho
que contém exatamente
sucessos.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
-
é o número de maneiras de escolher defeituosos dentre os disponíveis. -
é o número de maneiras de escolher não defeituosos dentre os disponíveis. -
é o número total de maneiras de escolher refrigeradores dentre os .
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com nossos valores:
Vamos calcular cada parte:
-
-
e são combinações mais complexas, mas podemos usar cálculos ou uma calculadora para encontrar esses valores.
Passo 5
Calculando os valores das combinações:
Usando uma calculadora ou software de matemática, encontramos que:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Passo 7
No entanto, esse é apenas a probabilidade de exatamente 1 defeituoso na amostra. A questão nos pede a probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade de que exatamente 1 esteja defeituoso dado que o lote foi aceito (ou seja, não teve pelo menos 2 defeituosos).
Primeiro, precisamos calcular a probabilidade de o lote ser aceito, o que significa ter no máximo 1 defeituoso na amostra.
Calculamos
:
Então:
Agora, a probabilidade condicional desejada é:
Resposta
A probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso, dado que o lote foi aceito, é aproximadamente 0,908.