Joga-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de serem necessários 10 lançamentos até a terceira ocorrência de uma face seis?
Passo 1
Vamos resumir o problema: estamos jogando um dado equilibrado e queremos saber qual a probabilidade de precisar exatamente de 10 lançamentos para obter a terceira vez que aparece o número seis. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial negativa, que nos ajudam a calcular a chance de um determinado número de sucessos ocorrer em um número específico de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada lançamento do dado é independente e a probabilidade de obter um seis em um único lançamento é
. A probabilidade de não obter um seis é, portanto,
.
Passo 3
Queremos que a terceira ocorrência de seis aconteça exatamente no décimo lançamento. Isso significa que, nos primeiros 9 lançamentos, precisamos obter exatamente 2 seises, e no décimo lançamento, obter mais um seis.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 2 seises nos primeiros 9 lançamentos. Isso segue uma distribuição binomial, onde a probabilidade é dada por:
Aqui,
é o número de combinações de 2 seises em 9 lançamentos.
Passo 5
Calculando o valor de
:
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
Passo 7
Agora, precisamos multiplicar essa probabilidade pelo fato de que o décimo lançamento seja um seis:
Resposta
A probabilidade de serem necessários exatamente 10 lançamentos para obter a terceira ocorrência de um seis é: