Joga-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de serem necessários 10 lançamentos até a terceira ocorrência de uma face seis?

Passo 1

Vamos resumir o problema: estamos jogando um dado equilibrado e queremos saber qual a probabilidade de precisar exatamente de 10 lançamentos para obter a terceira vez que aparece o número seis. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial negativa, que nos ajudam a calcular a chance de um determinado número de sucessos ocorrer em um número específico de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada lançamento do dado é independente e a probabilidade de obter um seis em um único lançamento é 16. A probabilidade de não obter um seis é, portanto, 56.

Passo 3

Queremos que a terceira ocorrência de seis aconteça exatamente no décimo lançamento. Isso significa que, nos primeiros 9 lançamentos, precisamos obter exatamente 2 seises, e no décimo lançamento, obter mais um seis.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 2 seises nos primeiros 9 lançamentos. Isso segue uma distribuição binomial, onde a probabilidade é dada por:
P = binom92 (16)^2 (56)^7
Aqui, binom92 é o número de combinações de 2 seises em 9 lançamentos.

Passo 5

Calculando o valor de binom92:
binom92 = 9!2!(9-2)! = 36

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
P = 36 times (16)^2 times (56)^7
P = 36 times 136 times (56)^7
P = 1 times (56)^7

Passo 7

Agora, precisamos multiplicar essa probabilidade pelo fato de que o décimo lançamento seja um seis:
Ptotal = (56)^7 times 16
Ptotal = (56)^7 times 16

Resposta

A probabilidade de serem necessários exatamente 10 lançamentos para obter a terceira ocorrência de um seis é:
P = (56)^7 times 16 approx 0,054

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