9 - Experiências conduzidas em filtro de laboratório com suspensão aquosa proveniente de uma refinaria de açúcar levaram aos seguintes resultados para um mesmo volume de filtrado:
|
Tempo de filtração (min) |
|
---|---|---|
30 | 200 | 20 |
90 | 130 | 30 |
A resistência do meio filtrante é desprezível, a resistividade da torta pode ser expressa por:
sendo
e
constantes. Estimar o tempo para filtrar 2 V a 70 psi e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois experimentos de filtração onde variamos a pressão (
) e a temperatura (
) para filtrar uma quantidade fixa de líquido. Queremos descobrir quanto tempo levaria para filtrar o dobro do volume (
) usando uma nova pressão (
psi) e temperatura (
). Para isso, vamos usar a relação dada para a resistividade da torta (
) que depende da pressão. Precisamos entender como a pressão e o volume afetam o tempo de filtração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona a resistividade da torta com a pressão:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar. A resistividade
afeta diretamente o tempo de filtração (
). Quanto maior for a resistividade, mais difícil é a passagem do líquido, aumentando o tempo de filtração.
Passo 3
A relação entre o tempo de filtração (
), o volume a ser filtrado (
), a área de filtração (
), e a diferença de pressão (
) pode ser aproximada pela equação de Darcy para filtragem:
Como a área
é constante para os experimentos, podemos simplificar a relação entre tempo e resistividade:
Mas como
já depende de
, vamos incorporar isso na fórmula.
Passo 4
Substituindo
na equação do tempo:
Como temos dois experimentos, podemos montar uma equação para cada um e assim descobrir as constantes
e
.
Passo 5
Vamos chamar os dados dos experimentos de Experimento 1 e Experimento 2:
Experimento 1:
Experimento 2:
Assumindo que a temperatura afeta
, mas queremos comparar os efeitos da pressão, podemos relacionar os tempos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Primeiro, calculamos a razão:
Então,
Aplicando logaritmo nos dois lados:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando um dos experimentos. Vamos usar o Experimento 1:
Assumindo
constante, vamos considerar
.
Então,
Passo 8
Agora, queremos estimar o tempo
para filtrar
com
psi e
.
Usando a fórmula:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 9
Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calcule
.
Agora,
Calculando
:
Então,
Resposta
O tempo estimado para filtrar
a
psi e
é de aproximadamente 277 minutos.