9 - Experiências conduzidas em filtro de laboratório com suspensão aquosa proveniente de uma refinaria de açúcar levaram aos seguintes resultados para um mesmo volume de filtrado:
De Tempo de filtração (min) T fi )
30 200 20
90 130 30
A resistência do meio filtrante é desprezível, a resistividade da torta pode ser expressa por: alpha=alpha0(De sendo alpha0 e n^prime constantes. Estimar o tempo para filtrar 2 V a 70 psi e 32^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois experimentos de filtração onde variamos a pressão ( ) e a temperatura ( ) para filtrar uma quantidade fixa de líquido. Queremos descobrir quanto tempo levaria para filtrar o dobro do volume ( ) usando uma nova pressão ( psi) e temperatura ( ). Para isso, vamos usar a relação dada para a resistividade da torta ( ) que depende da pressão. Precisamos entender como a pressão e o volume afetam o tempo de filtração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona a resistividade da torta com a pressão:
alpha = alpha0 (De
Aqui, e são constantes que precisamos determinar. A resistividade afeta diretamente o tempo de filtração ( ). Quanto maior for a resistividade, mais difícil é a passagem do líquido, aumentando o tempo de filtração.

Passo 3

A relação entre o tempo de filtração ( t = alpha VA De), o volume a ser filtrado ( t propto alpha VDe), a área de filtração ( ), e a diferença de pressão ( ) pode ser aproximada pela equação de Darcy para filtragem:
Como a área é constante para os experimentos, podemos simplificar a relação entre tempo e resistividade:
Mas como já depende de , vamos incorporar isso na fórmula.

Passo 4

Substituindo t = alpha0 (De na equação do tempo:
Como temos dois experimentos, podemos montar uma equação para cada um e assim descobrir as constantes e .

Passo 5

Vamos chamar os dados dos experimentos de Experimento 1 e Experimento 2:
Experimento 1:
De
Experimento 2:
De
Assumindo que a temperatura afeta t1t2 = alpha0 V (De, mas queremos comparar os efeitos da pressão, podemos relacionar os tempos:
200130 = ( 3090 )^n' - 1 Rightarrow 2013 approx ( 13 )^n' - 1
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos resolver para 2013 approx 1.5385 e 13 approx 0.3333 :
Primeiro, calculamos a razão:
1.5385 = (0.3333)^n' - 1
Então,
ln(1.5385) = (n' - 1) ln(0.3333)
Aplicando logaritmo nos dois lados:
0.431 = (n' - 1)(-1.0986)
n' - 1 = 0.431-1.0986 approx -0.392
n' approx 1 - 0.392 = 0.608

Passo 7

Agora que temos t1 = alpha0 V (De, podemos encontrar 200 = alpha0 V (30)^0.608 - 1 = alpha0 V (30)^-0.392 usando um dos experimentos. Vamos usar o Experimento 1:
alpha0 = 200V (30)^-0.392 = 200V times 30^0.392
Assumindo constante, vamos considerar .
Então,

Passo 8

Agora, queremos estimar o tempo t3 = alpha0 (2V) (De para filtrar t3 = ( 200V times 30^0.392 ) (2V) (70)^0.608 - 1 com t3 = 200 times 2 times ( 3070 )^0.392 psi e .
Usando a fórmula:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 9

Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calcule t3 = 400 times (0.4286)^0.392 .
Agora,
0.4286^0.392 approx 0.693
Calculando t3 = 400 times 0.693 approx 277.2 min :
Então,

Resposta

O tempo estimado para filtrar a psi e é de aproximadamente 277 minutos.

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