4 - (McCabe, 30-7) A seguinte relação entre alpha e De para CaCO3 super leve foi determinada: alpha=8,8.10^10[1+3,36 cdot 10^-4(De onde De deve ser usado em (lbf/ft²) para obter alpha em (ft/lb). Esta relação é válida nos intervalos de pressão variando de 0 a 1000 lbf / in^2. Uma lama deste material dando 3 lb de torta de sólidos por ft^3 deve ser filtrada com queda de pressão de 80 lbf / in^2 e a temperatura de 70^circ F(mu=6,6^* 10^-4 lb /(ft s)). Experimentos com esta lama de sólidos demonstraram que Rm=1,5^* 10^10 ft^-1. Um filtro de pressão do tipo tanque (descontínuo) deve ser usado. Qual a área de filtração (ft^2) deve ser necessária para produzir 1500 galões de filtrado em 1 hora?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma relação entre e para super leve, que será usada para determinar a área de filtração necessária. Vamos precisar entender conceitos de filtração de sólidos em líquidos, como queda de pressão, viscosidade, e taxa de filtração.

Passo 2

Vamos começar identificando os dados fornecidos no problema:
  • Relação dada:
  • Concentração de sólidos:
  • Temperatura: (não será necessária para os cálculos)
  • Viscosidade:
  • Constante de permeabilidade:
  • Volume de filtrado: õ em

Passo 3

Primeiro, precisamos converter a queda de pressão 1 , ft^2 = 144 , in^2 de De para , já que a relação para requer em .
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular alpha = 8,8 times 10^10 [1 + 3,36 times 10^-4 (11,520)^0,86] usando a relação fornecida:
(11,520)^0,86 approx 11,520^0,86 approx 1,989,23
Primeiro, calculamos o termo dentro dos colchetes:
3,36 times 10^-4 times 1,989,23 approx 0,668
1 + 0,668 = 1,668
alpha = 8,8 times 10^10 times 1,668 approx 1,467 times 10^11 , ft/lb
Então:

Passo 5

Em seguida, vamos determinar a taxa de filtração ( v = QA ) usando a seguinte relação:
A = Qv
onde:
  • é o volume de filtrado por unidade de área.
  • é a área de filtração.
Precisamos rearranjar essa fórmula para encontrar :

Passo 6

Vamos calcular 1500 , galões = 1500 times 0,133681 , ft^3 approx 201,52 , ft^3 , o volume de filtrado por hora. Sabemos que:
Q = 201,52 , ft^33600 , s approx 0,056 , ft^3/s õ
em .
Então:

Passo 7

Agora, precisamos relacionar a taxa de filtração v = k De com os demais parâmetros. A taxa de filtração pode ser expressa por:
v = alpha De
onde:
  • é a permeabilidade do filtro.
  • é a queda de pressão.
  • é a viscosidade do líquido.
Rearranjando para encontrar :

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
v = 1,467 times 10^11 , ft/lb times 11,520 , lbf/ft^26,6 times 10^-4 , lb/(ft cdot s)
Calculando:
v = 1,467 times 10^11 times 11,5206,6 times 10^-4
v approx 1,692 times 10^156,6 times 10^-4
v approx 2,566 times 10^18 , ft^2/s
Este valor é extremamente alto e indica que houve um erro nos cálculos ou na interpretação dos dados. Vamos revisar os passos anteriores para identificar onde ocorreu o equívoco.

Passo 9

Reavaliando o passo 4, percebe-se que a potência aplicada ao termo (11,520)^0,86 approx e^0,86 times ln(11,520) approx e^0,86 times 9,354 approx e^8,05 approx 3,128 pode ter sido excessivamente simplificada. Vamos recalcular mais cuidadosamente:
3,36 times 10^-4 times 3,128 approx 1,051
Então:
1 + 1,051 = 2,051
alpha = 8,8 times 10^10 times 2,051 approx 1,805 times 10^11 , ft/lb
Portanto:

Passo 10

Agora, recalculamos a taxa de filtração v = alpha De:
v approx 2,079 times 10^156,6 times 10^-4
v approx 3,152 times 10^18 , ft^2/s
Ainda obtemos um valor irrealisticamente alto para a taxa de filtração, indicando que há um erro fundamental na abordagem. Vamos reconsiderar a metodologia.

Passo 11

Vamos utilizar a relação de Filtração Normalizada, que relaciona o volume de filtrado, a taxa de filtração, e a área do filtro:
Q = v times A times t
onde:
  • A = Qv times t é o volume total de filtrado.
  • é a taxa de filtração.
  • é a área do filtro.
  • é o tempo.
Rearranjando para encontrar :

Passo 12

Sabemos que:
  • õ
Precisamos encontrar . Podemos considerar a permeabilidade . Porém, a abordagem anterior resultou em valores não realistas, indicando que devemos revisar a aplicação das fórmulas.

Passo 13

Em vez disso, utilizaremos a fórmula de Darcy para fluxo através de meios porosos:
Q = alpha A De
onde:
  • A = Q mu Lalpha De é a espessura do filtro. Como não foi fornecida, assumiremos .
Rearranjando para :

Passo 14

Substituindo os valores:
Q = 201,52 , ft^3
mu = 6,6 times 10^-4 , lb/(ft cdot s)
L = 1 , ft
alpha = 1,805 times 10^11 , ft/lb
De
t = 3600 , s
Calculando:
A = 201,52 times 6,6 times 10^-4 times 11,805 times 10^11 times 11,520 times 3600
A approx 0,1337,464 times 10^15
A approx 1,785 times 10^-17 , ft^2

Resposta

Com os cálculos realizados, a área de filtração necessária para produzir 1500 galões de filtrado em 1 hora é aproximadamente . Contudo, esse valor é irrealisticamente pequeno, indicando que houve um erro na abordagem ou nos cálculos utilizados. Recomenda-se revisar os dados e as fórmulas aplicadas para obter um resultado plausível.

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