4 - (McCabe, 30-7) A seguinte relação entre
e
para
super leve foi determinada:
onde
deve ser usado em (lbf/ft²) para obter
(ft/lb). Esta relação é válida nos intervalos de pressão variando de 0 a
. Uma lama deste material dando 3 lb de torta de sólidos por
deve ser filtrada com queda de pressão de
e a temperatura de
. Experimentos com esta lama de sólidos demonstraram que
. Um filtro de pressão do tipo tanque (descontínuo) deve ser usado. Qual a área de filtração
deve ser necessária para produzir 1500 galões de filtrado em 1 hora?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma relação entre
e
para
super leve, que será usada para determinar a área de filtração necessária. Vamos precisar entender conceitos de filtração de sólidos em líquidos, como queda de pressão, viscosidade, e taxa de filtração.
Passo 2
Vamos começar identificando os dados fornecidos no problema:
- Relação dada:
-
- Concentração de sólidos:
- Temperatura:
(não será necessária para os cálculos) - Viscosidade:
- Constante de permeabilidade:
- Volume de filtrado:
em
Passo 3
Primeiro, precisamos converter a queda de pressão
de
para
, já que a relação para
requer
em
.
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando a relação fornecida:
Primeiro, calculamos o termo dentro dos colchetes:
Então:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar a taxa de filtração (
) usando a seguinte relação:
onde:
-
é o volume de filtrado por unidade de área. -
é a área de filtração.
Precisamos rearranjar essa fórmula para encontrar
:
Passo 6
Vamos calcular
, o volume de filtrado por hora. Sabemos que:
em
.
Então:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar a taxa de filtração
com os demais parâmetros. A taxa de filtração pode ser expressa por:
onde:
-
é a permeabilidade do filtro. -
é a queda de pressão. -
é a viscosidade do líquido.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 8
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando:
Este valor é extremamente alto e indica que houve um erro nos cálculos ou na interpretação dos dados. Vamos revisar os passos anteriores para identificar onde ocorreu o equívoco.
Passo 9
Reavaliando o passo 4, percebe-se que a potência aplicada ao termo
pode ter sido excessivamente simplificada. Vamos recalcular mais cuidadosamente:
Então:
Portanto:
Passo 10
Agora, recalculamos a taxa de filtração
:
Ainda obtemos um valor irrealisticamente alto para a taxa de filtração, indicando que há um erro fundamental na abordagem. Vamos reconsiderar a metodologia.
Passo 11
Vamos utilizar a relação de Filtração Normalizada, que relaciona o volume de filtrado, a taxa de filtração, e a área do filtro:
onde:
-
é o volume total de filtrado. -
é a taxa de filtração. -
é a área do filtro. -
é o tempo.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 12
Sabemos que:
Precisamos encontrar
. Podemos considerar a permeabilidade
. Porém, a abordagem anterior resultou em valores não realistas, indicando que devemos revisar a aplicação das fórmulas.
Passo 13
Em vez disso, utilizaremos a fórmula de Darcy para fluxo através de meios porosos:
onde:
-
é a espessura do filtro. Como não foi fornecida, assumiremos .
Rearranjando para
:
Passo 14
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
Com os cálculos realizados, a área de filtração necessária para produzir 1500 galões de filtrado em 1 hora é aproximadamente
. Contudo, esse valor é irrealisticamente pequeno, indicando que houve um erro na abordagem ou nos cálculos utilizados. Recomenda-se revisar os dados e as fórmulas aplicadas para obter um resultado plausível.