3.5- Em um experimento, uma bola de bilhar é abandonada a partir de uma altura de
.
O impacto com o solo é parcialmente elástico com coeficiente de restituição é 0,8 e a energia perdida no impacto é convertida em energia interna.
Calcule o aumento da energia interna da bola pelos sucessivos impactos até ela parar. Despreze a resistência do ar.
O impacto com o solo é parcialmente elástico com coeficiente de restituição é 0,8 e a energia perdida no impacto é convertida em energia interna.
Calcule o aumento da energia interna da bola pelos sucessivos impactos até ela parar. Despreze a resistência do ar.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A bola é abandonada a partir da altura
. - O coeficiente de restituição é
. - A energia perdida em cada impacto é convertida em energia interna da bola.
- Despreza-se a resistência do ar.
O que o problema pede: calcular o aumento total da energia interna da bola devido aos impactos sucessivos até ela parar. Observação importante: a massa da bola não foi fornecida; então a resposta deve ficar em função da massa.
Passo 2
Entendendo as energias envolvidas (fórmulas e significados).
- A energia potencial gravitacional associada à bola a uma altura
é dada por
onde
é a massa da bola (em kg),
é a aceleração da gravidade (vou usar
) e
é a altura (em m). Essa fórmula vem de integrar a força gravitacional constante
ao deslocamento vertical
.
- Quando a bola é solta e chega ao solo antes do primeiro impacto, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética (desprezando perdas no ar), então a energia cinética imediatamente antes do primeiro impacto é
Aqui
representa a energia cinética imediatamente antes do primeiro choque com o solo.
Passo 3
O que é o coeficiente de restituição e como ele afeta a energia.
- O coeficiente de restituição
relaciona as velocidades normal ao choque antes e depois do impacto (em módulo):
- Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, se a energia cinética antes do choque é
, a energia cinética imediatamente depois do choque é
Ou seja, a energia cinética conserva um fator
a cada impacto.
- A energia perdida no choque (convertida em energia interna) é, então,
Aplicando isso ao primeiro impacto, com
,
Passo 4
Altura de recuo e expressão geral para os impactos seguintes.
- Depois do primeiro impacto a bola sobe até uma altura
tal que a energia potencial no topo é igual à energia cinética após o impacto:
- Repetindo o raciocínio, antes do segundo impacto a energia cinética vale
. A energia perdida no segundo impacto é
- Em geral, para o
-ésimo impacto (com ), a energia antes do impacto é
e a energia perdida nesse impacto é
Passo 5
Somando todas as energias perdidas (série geométrica).
- A energia interna total aumentada é a soma das perdas em todos os impactos:
- Fatorando constantes:
- Reindexando a soma (colocando
) dá uma série geométrica padrão:
pois
(
aqui), logo a série converge.
- Substituindo:
- Interpretação física simples: toda a energia potencial inicial
é eventualmente convertida em energia interna, porque no final a bola fica em repouso no solo (energia mecânica restante zero).
Passo 6
Aplicando os números fornecidos.
- A expressão final não depende do coeficiente de restituição explicitamente (desde que
); para os dados temos e . Assim
- Se quiser um valor por quilo, para
a energia total dissipada seria .