3.5- Em um experimento, uma bola de bilhar é abandonada a partir de uma altura de 1,0 \mathrm{~m}.
O impacto com o solo é parcialmente elástico com coeficiente de restituição é 0,8 e a energia perdida no impacto é convertida em energia interna.
Calcule o aumento da energia interna da bola pelos sucessivos impactos até ela parar. Despreze a resistência do ar.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A bola é abandonada a partir da altura \,h=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • O coeficiente de restituição é \,e=0{,}8.
  • A energia perdida em cada impacto é convertida em energia interna da bola.
  • Despreza-se a resistência do ar.
    O que o problema pede: calcular o aumento total da energia interna da bola devido aos impactos sucessivos até ela parar. Observação importante: a massa da bola não foi fornecida; então a resposta deve ficar em função da massa m.

Passo 2

Entendendo as energias envolvidas (fórmulas e significados).
  • A energia potencial gravitacional associada à bola a uma altura \,h é dada por
E_{\text{pot}} = m g h,
onde \,m é a massa da bola (em kg), \,g é a aceleração da gravidade (vou usar \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}) e \,h é a altura (em m). Essa fórmula vem de integrar a força gravitacional constante mg ao deslocamento vertical h.
  • Quando a bola é solta e chega ao solo antes do primeiro impacto, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética (desprezando perdas no ar), então a energia cinética imediatamente antes do primeiro impacto é
K_1 = m g h.
Aqui \,K_1 representa a energia cinética imediatamente antes do primeiro choque com o solo.

Passo 3

O que é o coeficiente de restituição e como ele afeta a energia.
  • O coeficiente de restituição \,e relaciona as velocidades normal ao choque antes e depois do impacto (em módulo):
e = \frac{v_{\text{recuo}}}{v_{\text{impacto}}}.
  • Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, se a energia cinética antes do choque é K, a energia cinética imediatamente depois do choque é
K' = \tfrac{1}{2} m (e v)^2 = e^{2} \left(\tfrac{1}{2} m v^{2}\right) = e^{2} K.
Ou seja, a energia cinética conserva um fator e^{2} a cada impacto.
  • A energia perdida no choque (convertida em energia interna) é, então,
\Delta E_{\text{perda, 1}} = K - K' = K(1 - e^{2}).
Aplicando isso ao primeiro impacto, com K_1 = m g h,
\Delta E_{\text{perda, 1}} = m g h(1 - e^{2}).

Passo 4

Altura de recuo e expressão geral para os impactos seguintes.
  • Depois do primeiro impacto a bola sobe até uma altura \,h_1 tal que a energia potencial no topo é igual à energia cinética após o impacto:
m g h_1 = K' = e^{2} m g h \quad\Rightarrow\quad h_1 = e^{2} h.
  • Repetindo o raciocínio, antes do segundo impacto a energia cinética vale K_2 = m g h_1 = m g h e^{2}. A energia perdida no segundo impacto é
\Delta E_{\text{perda, 2}} = K_2(1 - e^{2}) = m g h\, e^{2}(1 - e^{2}).
  • Em geral, para o n-ésimo impacto (com n=1,2,3,\dots), a energia antes do impacto é
K_n = m g h\, e^{2(n-1)},
e a energia perdida nesse impacto é
\Delta E_{\text{perda, }n} = K_n(1 - e^{2}) = m g h\, e^{2(n-1)}(1 - e^{2}).

Passo 5

Somando todas as energias perdidas (série geométrica).
  • A energia interna total aumentada é a soma das perdas em todos os impactos:
\Delta U = \sum_{n=1}^{\infty} \Delta E_{\text{perda, }n} = \sum_{n=1}^{\infty} m g h\, e^{2(n-1)}(1 - e^{2}).
  • Fatorando constantes:
\Delta U = m g h (1 - e^{2}) \sum_{n=1}^{\infty} e^{2(n-1}).
  • Reindexando a soma (colocando k=n-1) dá uma série geométrica padrão:
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2(n-1)} = \sum_{k=0}^{\infty} (e^{2})^{k} = \frac{1}{1 - e^{2}},
pois |e|<1 ( e=0{,}8 aqui), logo a série converge.
  • Substituindo:
\Delta U = m g h (1 - e^{2}) \cdot \frac{1}{1 - e^{2}} = m g h.
  • Interpretação física simples: toda a energia potencial inicial m g h é eventualmente convertida em energia interna, porque no final a bola fica em repouso no solo (energia mecânica restante zero).

Passo 6

Aplicando os números fornecidos.
  • A expressão final não depende do coeficiente de restituição explicitamente (desde que 0\le e<1); para os dados temos \,h=1{,}0\\ \mathrm{m} e \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Assim
\Delta U = m g h = m\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0 = 9{,}8\,m\\ \mathrm{J}.
  • Se quiser um valor por quilo, para m=1{,}0\\ \mathrm{kg} a energia total dissipada seria \,9{,}8\\ \mathrm{J}.

Resposta

\Delta U = m g h = 9{,}8\,m\\ \mathrm{J}

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