Em um experimento de fenda dupla, a distância entre as fendas é
e a tela está a
das fendas. Duas ondas, com comprimentos de onda de
e
, incidem nas fendas. (a) Em que distância do máximo central os máximos de interferência das duas ondas coincidem? (b) Quantos máximos brilhantes da onda de
estão contidos dentro do máximo central da onda de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um experimento de fenda dupla onde a distância entre as fendas é de
e a tela está a
das fendas. Duas ondas com comprimentos de onda de
e
estão incidentes nas fendas. Precisamos resolver duas partes:
(a) Encontrar a distância do máximo central onde os máximos de interferência das duas ondas coincidem.
(b) Determinar quantos máximos brilhantes da onda de estão contidos dentro do máximo central da onda de
.
(b) Determinar quantos máximos brilhantes da onda de
Para resolver isso, vamos usar conceitos de interferência em fenda dupla, que envolvem equações que relacionam o comprimento de onda, a distância entre as fendas, a distância até a tela e a posição dos máximos de interferência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os máximos de interferência se formam. Em um padrão de interferência de fenda dupla, os máximos de intensidade (ou máximos brilhantes) ocorrem onde as diferenças de caminho entre as ondas provenientes de cada fenda são múltiplos inteiros do comprimento de onda. A posição desses máximos na tela pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
- $ y_m $ é a posição do $ m $-ésimo máximo na tela.
- $ m $ é a ordem do máximo (um número inteiro: 0, 1, 2, …).
- $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.
- $ L $ é a distância entre as fendas e a tela.
- $ d $ é a distância entre as fendas.
Passo 3
Para a parte (a), queremos encontrar a posição $ y $ onde os máximos das duas ondas coincidem. Isso significa que existe um valor de $ m $ para a primeira onda ($ \lambda_1 = 490 , nm $) e um valor de $ n $ para a segunda onda ($ \lambda_2 = 588 , nm $) tal que:
Simplificando essa equação, temos:
Isso nos dá a relação entre $ m $ e $ n $:
Ou seja, $ m = \frac{6}{5} n $. Como $ m $ e $ n $ devem ser números inteiros, o menor valor que satisfaz essa relação é $ m = 6 $ e $ n = 5 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a posição $ y $ usando a fórmula mencionada anteriormente. Vamos usar $ m = 6 $ para a primeira onda:
Calculando:
Passo 5
Para a parte (b), queremos saber quantos máximos da onda de
cabem dentro do máximo central da onda de
.
Primeiro, vamos determinar a largura do máximo central para a onda de
. A largura do máximo central é a distância entre o primeiro mínimo à direita e o primeiro mínimo à esquerda. Em termos de maxima, isso significa a distância entre o $ m = -1 $ e $ m = +1 $:
Substituindo os valores:
Agora, vamos calcular o espaçamento entre os máximos para a onda de
:
Para saber quantos desses espaçamentos cabem na largura do máximo central de
, dividimos:
Como não podemos ter uma fração de máximo, consideramos que cabem 2 máximos brilhantes da onda de
dentro do máximo central da onda de
.
Resposta
(a) Os máximos coincidem a aproximadamente
do máximo central.
(b) São contidos 2 máximos brilhantes da onda de
dentro do máximo central da onda de
.