(a) Qual é o número mínimo de ranhuras por centímetro que uma rede de difração deve ter para resolver o dubleto de sódio (589,00 nm e 589,59 nm) no espectro de segunda ordem? (b) Qual é a diferença angular entre os dois comprimentos de onda nesse caso?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de difração envolvendo a dupla de sódio, que tem comprimentos de onda muito próximos: 589,00 nm e 589,59 nm. O conteúdo envolvido aqui é óptica, especificamente o uso de redes de difração para separar diferentes comprimentos de onda de luz. Para resolver isso, vamos precisar entender como a rede de difração funciona e aplicar fórmulas relacionadas ao número de ranhuras e à diferença angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o número mínimo de ranhuras por centímetro ( n) que a rede deve ter para conseguir separar essas duas cores na segunda ordem de difração. A resolução ( R) de uma rede de difração é dada pela fórmula:
R = lambdaDe
onde lambda é o comprimento de onda e De é a diferença entre os comprimentos de onda.

Passo 3

Calculando a resolução necessária:
De
R = 589,00 nm0,59 nm approx 1000
Então, precisamos que R = 1000 na segunda ordem de difração ( m = 2).

Passo 4

Sabemos que a resolução de uma rede também é relacionada ao número de ranhuras por ordem m e ao número total de ranhuras N:
R = mN
Queremos R = 1000 e m = 2, então:
N = Rm = 10002 = 500
Isso significa que precisamos de 500 ranhuras na segunda ordem.

Passo 5

Como estamos trabalhando com ranhuras por centímetro, se temos 500 ranhuras na segunda ordem, o número de ranhuras por centímetro ( n) é igual a 500.

Passo 6

Agora, para encontrar a diferença angular ( De) entre os dois comprimentos de onda na segunda ordem, usamos a equação da rede de difração:
mlambda = d sin theta
onde d é a distância entre as ranhuras ( d = 1n).

Passo 7

Calculando d:
d = 1500 , ranhuras/cm = 1500 , cm = 2 times 10^-5 , m

Passo 8

Aplicando a equação da rede para cada comprimento de onda:
Para lambda1 = 589,00 nm = 589,00 times 10^-9 m:
2 times 589,00 times 10^-9 = 2 times 10^-5 sin theta1
sin theta1 = 2 times 589,00 times 10^-92 times 10^-5 = 0,00589
theta1 approx 0,337^circ
Para lambda2 = 589,59 nm = 589,59 times 10^-9 m:
2 times 589,59 times 10^-9 = 2 times 10^-5 sin theta2
sin theta2 = 2 times 589,59 times 10^-92 times 10^-5 = 0,0058959
theta2 approx 0,338^circ

Resposta

(a) A rede de difração deve ter 500 ranhuras por centímetro para resolver o dubleto de sódio na segunda ordem.
(b) A diferença angular entre os dois comprimentos de onda nesse caso é de aproximadamente 0,001 graus.

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