A intensidade da luz difratada por uma fenda de largura d (aproximadamente igual à largura de um fio de cabelo humano) é dada por I=I0<=ft( racoperatornamesen beta beta ight)^2 , em que beta= racpi d sen thetalambda e theta é o ângulo a partir da direção original do feixe de luz. (a) Mostre que o primeiro mínimo de difração ocorre em theta=lambda / d. (b) Determine a intensidade do máximo central (em theta=0 ) em termos de I0. © Qual é a intensidade em um ponto em que theta=30,0^circ ? (d) Suponha que a luz seja monocromática com lambda=580 nm. Quantos mínimos de difração existem entre theta=0 e theta=90,0^circ ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a intensidade da luz difratada por uma fenda estreita, como a largura de um fio de cabelo humano. Vamos precisar usar conceitos de difração da luz, especialmente a fórmula que relaciona a intensidade da luz com o ângulo de difração. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o primeiro mínimo de difração em theta = lambdad.
A intensidade da luz difratada é dada por:
I = I0 ( sin betabeta )^2
onde
beta = pi d sin thetalambda
Os mínimos de difração ocorrem quando a intensidade I é zero, ou seja, quando sin betabeta = 0. Isso acontece quando sin beta = 0 e beta neq 0, o que ocorre para beta = npi, onde n é um inteiro diferente de zero.
Para o primeiro mínimo, consideramos n = 1:
beta = pi
Substituindo na expressão de beta:
pi = pi d sin thetalambda
Simplificando:
1 = d sin thetalambda
sin theta = lambdad
Para ângulos pequenos, podemos aproximar sin theta approx theta (em radianos), então:
theta approx lambdad

Passo 3

Parte (b): Determinar a intensidade do máximo central ( theta = 0) em termos de I0.
No máximo central, theta = 0, então sin theta = 0. Substituindo na expressão de beta:
beta = pi d cdot 0lambda = 0
A expressão da intensidade se torna:
I = I0 ( sin 00 )^2
Esse limite é uma forma indeterminada 0/0, mas sabemos que:
limbeta to 0 sin betabeta = 1
Portanto:
I = I0 cdot 1^2 = I0

Passo 4

Parte ©: Qual é a intensidade em um ponto onde theta = 30,0^circ?
Vamos usar a mesma fórmula:
I = I0 ( sin betabeta )^2
com
beta = pi d sin thetalambda
Primeiro, calculamos beta para theta = 30^circ:
beta = pi d sin 30^circlambda = pi d cdot 0,5lambda = pi d2lambda
Agora, substituímos beta na expressão da intensidade:
I = I0 ( sin ( pi d2lambda )pi d2lambda )^2
Simplificando:
I = I0 ( 2lambdapi d sin ( pi d2lambda ) )^2
Essa expressão nos dá a intensidade em theta = 30^circ.

Passo 5

Parte (d): Suponha que a luz seja monocromática com lambda = 580 nm. Quantos mínimos de difração existem entre theta = 0 e theta = 90,0^circ?
Sabemos que os mínimos ocorrem quando:
theta = nlambdad
Queremos encontrar os valores de n tais que theta <= 90^circ:
nlambdad <= 90^circ
Mas precisamos lembrar que theta está em radianos na fórmula original, então precisamos converter 90^circ para radianos:
90^circ = pi2 radianos
Então:
nlambdad <= pi2
n <= pi d2lambda
O número de mínimos será o maior inteiro que satisfaz essa desigualdade. Ou seja:
nmáx = lfloor pi d2lambda rfloor á

Resposta

(a) O primeiro mínimo de difração ocorre em theta = lambdad.
(b) A intensidade do máximo central é I = I0.
© A intensidade em theta = 30,0^circ é I = I0 ( sin ( pi d2lambda )pi d2lambda )^2.
(d) O número de mínimos de difração entre theta = 0 e theta = 90,0^circ é dado por nmáx = lfloor pi d2lambda rfloorá.

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