A intensidade da luz difratada por uma fenda de largura
(aproximadamente igual à largura de um fio de cabelo humano) é dada por
, em que
e
é o ângulo a partir da direção original do feixe de luz. (a) Mostre que o primeiro mínimo de difração ocorre em
. (b) Determine a intensidade do máximo central (em
) em termos de
. © Qual é a intensidade em um ponto em que
? (d) Suponha que a luz seja monocromática com
. Quantos mínimos de difração existem entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a intensidade da luz difratada por uma fenda estreita, como a largura de um fio de cabelo humano. Vamos precisar usar conceitos de difração da luz, especialmente a fórmula que relaciona a intensidade da luz com o ângulo de difração. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o primeiro mínimo de difração em
.
A intensidade da luz difratada é dada por:
onde
Os mínimos de difração ocorrem quando a intensidade
é zero, ou seja, quando
. Isso acontece quando
e
, o que ocorre para
, onde
é um inteiro diferente de zero.
Para o primeiro mínimo, consideramos
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Para ângulos pequenos, podemos aproximar
(em radianos), então:
Passo 3
Parte (b): Determinar a intensidade do máximo central (
) em termos de
.
No máximo central,
, então
. Substituindo na expressão de
:
A expressão da intensidade se torna:
Esse limite é uma forma indeterminada
, mas sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Parte ©: Qual é a intensidade em um ponto onde
?
Vamos usar a mesma fórmula:
com
Primeiro, calculamos
para
:
Agora, substituímos
na expressão da intensidade:
Simplificando:
Essa expressão nos dá a intensidade em
.
Passo 5
Parte (d): Suponha que a luz seja monocromática com
. Quantos mínimos de difração existem entre
e
?
Sabemos que os mínimos ocorrem quando:
Queremos encontrar os valores de
tais que
:
Mas precisamos lembrar que
está em radianos na fórmula original, então precisamos converter
para radianos:
Então:
O número de mínimos será o maior inteiro que satisfaz essa desigualdade. Ou seja:
Resposta
(a) O primeiro mínimo de difração ocorre em
.
(b) A intensidade do máximo central é
.
© A intensidade em
é
.
(d) O número de mínimos de difração entre
e
é dado por
.