Um objeto de massa
é preso à extremidade livre de uma corda rígida de massa desprezível e de comprimento
, que tem sua outra extremidade presa verticalmente em um ponto fixo. Em seguida, o objeto é deslocado lateralmente e o sistema passa a oscilar no tempo com pequena amplitude.
a) Faça uma figura ilustrativa desse sistema e represente as forças que atuam no objeto de massa
.
b) Usando a
lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento do objeto para
para o caso de pequenas oscilações
e sua solução para
.
c) O que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para
e o comprimento da corda for aumentado para
?
a) Faça uma figura ilustrativa desse sistema e represente as forças que atuam no objeto de massa
b) Usando a
c) O que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo simples: uma massa
presa a uma corda sem massa de comprimento
oscila com pequenas amplitudes. Precisamos:
a) desenhar o diagrama de forças sobre ;
b) usar a Segunda Lei de Newton para obter a equação diferencial em no regime
e sua solução
;
c) discutir como muda a frequência se e
.
a) desenhar o diagrama de forças sobre
b) usar a Segunda Lei de Newton para obter a equação diferencial em
c) discutir como muda a frequência se
Passo 2
No diagrama do pêndulo simples temos:
– Um ponto fixo .
– Uma corda de comprimento fazendo um ângulo
com a vertical.
– A massa na extremidade livre.
– Um ponto fixo
– Uma corda de comprimento
– A massa
As forças sobre
são:
– A tensão apontando ao longo da corda, no sentido de
.
– O peso apontando vertical para baixo.
– A tensão
– O peso
Passo 3
Escolhendo eixo tangencial ao movimento (perpendicular à corda), a Segunda Lei dá
A única componente tangencial de força é
, e a aceleração tangencial é
. Logo
que se rearranja para
Passo 4
Para pequenas oscilações usamos
. A equação linearizada fica
que é justamente a equação de um oscilador harmônico simples.
Passo 5
A solução geral é
com a pulsação
Passo 6
Como
não depende de
, dobrar
não altera a frequência. Se
, então
isto é, a frequência diminui em um fator
(o período aumenta em
).
Resposta
a) Diagrama de corpo livre: massa
, tensão
ao longo da corda e peso
para baixo.
b) Equação diferencial linearizada
b) Equação diferencial linearizada
solução
.
c) Dobrando : sem efeito na frequência. Dobrando
:
cai para
.
c) Dobrando