Um objeto de massa m é preso à extremidade livre de uma corda rígida de massa desprezível e de comprimento L, que tem sua outra extremidade presa verticalmente em um ponto fixo. Em seguida, o objeto é deslocado lateralmente e o sistema passa a oscilar no tempo com pequena amplitude.
a) Faça uma figura ilustrativa desse sistema e represente as forças que atuam no objeto de massa m.
b) Usando a 2^{\text {a }} lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento do objeto para \theta para o caso de pequenas oscilações (\sin \theta \approx \theta) e sua solução para \theta(t).
c) O que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para 2 m e o comprimento da corda for aumentado para 2 L ?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples: uma massa m presa a uma corda sem massa de comprimento L oscila com pequenas amplitudes. Precisamos:
a) desenhar o diagrama de forças sobre m;
b) usar a Segunda Lei de Newton para obter a equação diferencial em \theta no regime \sin\theta\approx\theta e sua solução \theta(t);
c) discutir como muda a frequência se m\to2m e L\to2L.

Passo 2

No diagrama do pêndulo simples temos:
– Um ponto fixo O.
– Uma corda de comprimento L fazendo um ângulo \theta com a vertical.
– A massa m na extremidade livre.
As forças sobre m são:
– A tensão \vec T apontando ao longo da corda, no sentido de O.
– O peso \vec P = m\,\vec g apontando vertical para baixo.

Passo 3

Escolhendo eixo tangencial ao movimento (perpendicular à corda), a Segunda Lei dá
\sum F_{t} = m\,a_{t}.
A única componente tangencial de força é -mg\sin\theta, e a aceleração tangencial é a_{t}=L\,\theta''. Logo
-mg\sin\theta = m\,L\,\theta'',
que se rearranja para
\theta'' + \frac{g}{L}\,\sin\theta = 0.

Passo 4

Para pequenas oscilações usamos \sin\theta\approx\theta. A equação linearizada fica
\theta'' + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
que é justamente a equação de um oscilador harmônico simples.

Passo 5

A solução geral é
\theta(t) = \theta_{0}\,\cos\bigl(\omega\,t + \varphi\bigr),
com a pulsação
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.

Passo 6

Como \omega=\sqrt{g/L} não depende de m, dobrar m não altera a frequência. Se L\to2L, então
\omega' = \sqrt{\frac{g}{2L}} = \frac{1}{\sqrt 2}\,\sqrt{\frac{g}{L}} = \frac{\omega}{\sqrt 2},
isto é, a frequência diminui em um fator \sqrt2 (o período aumenta em \sqrt2).

Resposta

a) Diagrama de corpo livre: massa m, tensão \vec T ao longo da corda e peso m\vec g para baixo.
b) Equação diferencial linearizada
\theta'' + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
solução \theta(t)=\theta_{0}\cos\bigl(\sqrt{g/L}\,t+\varphi\bigr).
c) Dobrando m: sem efeito na frequência. Dobrando L: \omega cai para \omega/\sqrt2.

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