No experimento de fenda dupla de Young, a luz de comprimento de onda \lambda=600 \mathrm{~nm} passa por duas fendas separadas por uma distância d=0,20 \mathrm{~mm}. Se a tela estiver a uma distância R=1,5 \mathrm{~m} das fendas, qual é a distância y entre o máximo central ( m=0 ) e a primeira franja escura ( m=0 ou m=1 ) na tela?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • comprimento de onda: \lambda = 600\\ \mathrm{nm}.
    • separação entre as fendas: d = 0,20\\ \mathrm{mm}.
    • distância das fendas até a tela: R = 1,5\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido:
    • a distância y na tela entre o máximo central (ordem m=0) e a primeira franja escura (a primeira mínima de intensidade ao lado do máximo central).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo).
  • Como aparecem as franjas escuras (mínimas) no experimento de fenda dupla:
    • Para as mínimas de interferência (franjas escuras) vale a condição
    d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
    onde:
    • d é a separação entre as fendas (metros),
    • \lambda é o comprimento de onda da luz (metros),
    • \theta é o ângulo medido a partir da direção central (ângulo entre a normal às fendas e a direção até a franja na tela),
    • m é um número inteiro ( m=0,1,2,\dots) que identifica qual mínima (o caso m=0 dá a primeira mínima próxima ao centro).
    • Aqui a “primeira franja escura” imediatamente ao lado do máximo central corresponde a m=0 na fórmula acima, pois substituindo m=0 obtemos a menor \theta>0 que dá uma mínima.
  • Como relacionar o ângulo \theta com a posição y na tela:
    • A posição vertical y (distância do centro até a franja na tela) está ligada a \theta por
    y = R\tan\theta,
    onde R é a distância da fenda até a tela.
  • Aproximação para pequenos ângulos:
    • Quando \theta é pequeno (em radianos), vale a aproximação
    \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta.
    • Isso permite substituir \tan\theta por \sin\theta (ou por \theta) para calcular y sem usar funções trigonométricas complicadas. Mais abaixo vou verificar que \theta é realmente pequeno, justificando essa aproximação.

Passo 3

Aplicando a condição da primeira mínima ( m=0) para encontrar \sin\theta.
  • Para m=0 a condição das mínimas é
d\sin\theta = \left(0+\tfrac{1}{2}\right)\lambda = \tfrac{1}{2}\lambda.
  • Isolando \sin\theta:
\sin\theta = \frac{\tfrac{1}{2}\lambda}{d} = \frac{\lambda}{2d}.
  • Convertemos as unidades para metros (sempre faça isso para evitar erro):
    • \lambda = 600\\ \mathrm{nm} = 600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
    • d = 0,20\\ \mathrm{mm} = 0,20\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
    • R = 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo:
\sin\theta = \frac{600\times10^{-9}}{2\cdot(2,0\times10^{-4})} = \frac{600\times10^{-9}}{4,0\times10^{-4}}.
Agora simplificando passo a passo:
\frac{600}{4,0} = 150,\qquad 10^{-9}/10^{-4}=10^{-5},
portanto
\sin\theta = 150\times10^{-5} = 1{,}50\times10^{-3}.
  • Verificação da pequena magnitude de \theta:
    • \sin\theta = 1{,}50\times10^{-3} é muito pequeno; isso corresponde a \theta\approx1{,}50\times10^{-3}\\ \text{rad}, ou em graus
    \theta \approx (1{,}50\times10^{-3})\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx0{,}086^\circ,o que confirma que a aproximação de pequenos ângulos é válida.

Passo 4

Calcular y usando a aproximação \tan\theta\approx\sin\theta.
  • Como y = R\tan\theta e \tan\theta\approx\sin\theta (válido porque \theta é pequeno), temos
y \approx R\sin\theta.
  • Substituindo os valores:
y \approx (1{,}5)\times(1{,}50\times10^{-3}) = 2{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para milímetros (mais intuitivo para pequenas distâncias):
2{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}25\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Checagem rápida da precisão: uso exato de \tan\theta.
  • Se fosse feita a conta exata, acharíamos \theta = \arcsin(1{,}50\times10^{-3})\approx1{,}5000019\times10^{-3}\\ \text{rad} e \tan\theta teria praticamente o mesmo valor (diferença desprezível na casa de 10^{-9} em y). Portanto o resultado 2{,}25\\ \mathrm{mm} é correto dentro de alta precisão sem necessidade de calculadora avançada.

Resposta

y = 2{,}25\\ \mathrm{mm}

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