Em um experimento se observou que há uma relação entre a quantia de insumo fornecido e a produtividade. Em palavras, simples, quanto mais insumo é fornecido, maior será a produtividade. Em um intervalo de valores se observou que a relação entre os valores segue uma tendência linear afim, ou seja, uma reta deslocada. Dados da observação:
I - Se fornecer 11,3 kg de insumo por ha, a produção será de 5.750 kg por ha.
II - Se fornecer 31,1 kg de insumo por ha, a produção será de 32.700 kg por ha.
(a) Qual a estimativa da produção, se forem fornecidos 20 kg de insumo por ha?
(b) Quanto de insumo deve ser fornecido para uma estimativa de produção de 25.000 kg por ha?
(c) A tendência linear faz sentido para quantidades muito grandes de insumo?

Passo 1

O enunciado descreve a relação entre insumo x (em kg/ha) e produtividade y (em kg/ha) por meio de uma função afim, isto é,
y = a,x + b
com dois pontos conhecidos: (11,3,,5750) e (31,1,,32700).
Precisamos:
  1. Determinar coeficiente angular a (inclinação) e linear b (intercepto).
  2. Estimar y para x=20.
  3. Encontrar x quando y=25000.
  4. Discutir validade da linearidade para insumos muito grandes.

Passo 2

Calcular o coeficiente angular a usando a fórmula
a = y2 - y1x2 - x1
Aplicando os dados:
a = 32700 - 575031,1 - 11,3 = 2695019,8 approx 1361,11

Passo 3

Determinar o intercepto b pela relação b = y1 - a,x1:
b = 5750 - 1361,11 times 11,3 approx 5750 - 15380,56 approx -962,56

Passo 4

Assim, o modelo ajustado é
y = 1361,11,x ;-; 962,56

Passo 5

Para estimar a produção quando x=20:
y(20) = 1361,11 times 20 - 962,56 = 27222,20 - 962,56 = 26259,64 approx 26260

Passo 6

Para encontrar x dado y=25000, resolvemos
25000 = 1361,11,x - 962,56 ;Longrightarrow; x = 25000 + 962,561361,11 = 25962,561361,11 approx 19,07

Passo 7

O modelo linear foi ajustado num intervalo limitado de insumo (entre 11,3 e 31,1). Para quantidades muito grandes, fatores como saturação do solo, limite de capacidade de absorção da planta e efeitos ambientais tornam a relação não mais linear. Logo, não faz sentido extrapolar indefinidamente essa reta.

Resposta

(a) 26260 kg/ha aproximadamente.
(b) 19,1 kg/ha aproximadamente.
(c) Não faz sentido extrapolar a linearidade para insumos muito grandes, pois o modelo foi ajustado num intervalo limitado e ignoraria efeitos de saturação e outros fatores reais.

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