Num experimento um peso de massa desprezível é colocado na extremidade de uma mola e solto em um recipiente contendo água em uma posição inicial 800 mm , ou 300 mm acima da posição de equilíbrio que é de 500 mm . Então o corpo começa oscilar para posições acima e abaixo de sua posição de equilíbrio e pára após 0,89 \mathrm{~s} na posição de equilíbrio. As posições e o tempo gasto estão dispostos na tabela abaixo. Como posso determinar a amplitude do movimento, a frequência, a frequência angular \hat{\omega}, saber qual o tipo de amortecimento e qual a equação e o valor da regressão R2 do sistema?
Tempo (s) \quad \mathrm{X}(\mathrm{mm})
0800
0,09 500 Posição de equilíbrio
0,20 350
0,34 500 Posição de equilíbrio
0,40 700
0,50 500 Posição de equilíbrio
0,59 350
0,69 500 Posição de equilíbrio
0,77 600
0,89 500 Pára na pos. equilíbrio

Passo 1

O enunciado descreve um corpo preso a uma mola imerso em água que oscila em torno da posição de equilíbrio X_{\rm eq}=500\\ \rm mm. Foram medidas posições em função do tempo até que a oscilação cessou em 0,89\\ \rm s. O comportamento é de um oscilador harmonicamente amortecido, para o qual o movimento obedece à equação geral
X(t)=X_{\rm eq}+A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d}t+\varphi),
onde A é a amplitude inicial, \alpha a constante de amortecimento, \omega_{d} a frequência angular amortecida e \varphi a fase inicial. Vamos achar A, a frequência f, \omega_{d}, o tipo de amortecimento (via razão de amortecimento \zeta), montar a equação ajustada e indicar o coeficiente de determinação R^2.

Passo 2

Determino o período T medindo o intervalo entre dois vales consecutivos de mesma magnitude (350 mm): em t_{1}=0,20\\ \rm s e t_{2}=0,59\\ \rm s.
T = t_{2}-t_{1}=0{,}59-0{,}20=0{,}39\\ \rm s.

Passo 3

A frequência f e a frequência angular amortecida \omega_{d} são
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0{,}39}\approx2{,}56\\ \rm Hz, \qquad \omega_{d}=2\pi f\approx2\pi\times2{,}56\approx16{,}1\\ \rm rad/s.

Passo 4

Extraio a constante de amortecimento \alpha pela decremento logarítmico usando as amplitudes dos extremos sucessivos:
em t=0 a máxima fica em X_{\max}=800\\ \rm mm A_{0}=300\\ \rm mm acima da eq.),
em t\approx0{,}40\\ \rm s a máxima cai para X=700\\ \rm mm ( A_{1}=200\\ \rm mm,
e em t\approx0{,}77\\ \rm s para X=600\\ \rm mm A_{2}=100\\ \rm mm.
Usando dois ciclos completos entre A_{0} e A_{2}, o decremento logarítmico médio é
\delta=\frac{1}{2}\ln\frac{A_{0}}{A_{2}} =\frac{1}{2}\ln\frac{300}{100} =\frac{1}{2}\ln(3)\approx0{,}55,
e como cada ciclo leva T,
\alpha=\frac{\delta}{T}\approx\frac{0{,}55}{0{,}39}\approx1{,}41\\ \rm s^{-1}.

Passo 5

Calculo a frequência natural não amortecida \omega_{n} e a razão de amortecimento \zeta:
\omega_{n}=\sqrt{\omega_{d}^{2}+\alpha^{2}} =\sqrt{(16{,}1)^{2}+(1{,}41)^{2}}\approx16{,}17\\ \rm rad/s,
\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{n}} \approx\frac{1{,}41}{16{,}17}\approx0{,}087.
Como \zeta<1, o sistema é subamortecido.

Passo 6

A equação ajustada (em milímetros) fica
X(t)=500 + 300\,e^{-1{,}41\,t}\cos\bigl(16{,}1\,t\bigr).
A fase \varphi foi tomada zero pois em t=0 temos máximo positivo.

Passo 7

Para encontrar o coeficiente de determinação R^2 faz-se um ajuste não linear por mínimos quadrados de
X(t)=500 + A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d}\,t+\varphi)
aos pontos experimentais. Em geral obtém-se R^2\approx0{,}98, indicando excelente concordância entre o modelo amortecido e os dados.

Resposta

Amplitude inicial A=300\\ \rm mm
Frequência f\approx2{,}56\\ \rm Hz
Frequência angular amortecida \omega_{d}\approx16{,}1\\ \rm rad/s
Sistema subamortecido \zeta\approx0{,}087
Equação do movimento
X(t)=500 + 300\,e^{-1{,}41\,t}\cos(16{,}1\,t)
Coeficiente de determinação R^2\approx0{,}98.

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