3 (Movimento em duas dimensões - 2,0 pontos). O vetor posição de uma partícula que se move no plano
Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. x y é dado por:
\vec{r}=\left(\frac{2}{5} t^{3}-\frac{3}{5} t^{2}\right) \hat{i}+\frac{1}{6} t^{4} \hat{j} em segundos.
\vec{r} e dado em metros e velocidade e aceleração instantânea pa t=4 \mathrm{~s}.
(b) Determine o vetor deslocamento entre os instantes 4 s e 5 s.

Passo 1

O enunciado fornece o vetor posição
\vec{r}(t)=\Bigl(\frac{2}{5}t^{3}-\frac{3}{5}t^{2}\Bigr)\hat{\imath}+\frac{1}{6}t^{4}\,\hat{\jmath}
e pede o vetor deslocamento entre t_{1}=4\\ \mathrm{s} e t_{2}=5\\ \mathrm{s}.
Para isso vamos usar que o deslocamento é
\Delta\vec{r}=\vec{r}(t_{2})-\vec{r}(t_{1}).

Passo 2

Calcular \vec{r}(5\,\mathrm{s}).
As componentes são
x(5)=\frac{2}{5}\cdot5^{3}-\frac{3}{5}\cdot5^{2} =\frac{250}{5}-\frac{75}{5}=50-15=35,
y(5)=\frac{1}{6}\cdot5^{4}=\frac{625}{6}.
Logo
\vec{r}(5)=35\,\hat{\imath}+\frac{625}{6}\,\hat{\jmath}.

Passo 3

Calcular \vec{r}(4\,\mathrm{s}).
As componentes são
x(4)=\frac{2}{5}\cdot4^{3}-\frac{3}{5}\cdot4^{2} =\frac{128}{5}-\frac{48}{5}=\frac{80}{5}=16,
y(4)=\frac{1}{6}\cdot4^{4}=\frac{256}{6}=\frac{128}{3}.
Logo
\vec{r}(4)=16\,\hat{\imath}+\frac{128}{3}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Subtrair para obter o deslocamento:
\Delta\vec{r} =\vec{r}(5)-\vec{r}(4) =\bigl(35-16\bigr)\hat{\imath} +\Bigl(\tfrac{625}{6}-\tfrac{128}{3}\Bigr)\hat{\jmath}.
Como \tfrac{128}{3}=\tfrac{256}{6},
\Delta\vec{r} =19\,\hat{\imath}+\frac{625-256}{6}\,\hat{\jmath} =19\,\hat{\imath}+\frac{369}{6}\,\hat{\jmath}.
Podemos simplificar \tfrac{369}{6}=\tfrac{123}{2}.

Resposta

\Delta\vec{r} =19\,\hat{\imath}+\frac{123}{2}\,\hat{\jmath}\\ \text{m}.

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