2 (Movimento em uma dimensão - 2,0 pontos) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 50 m acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?

Passo 1

O enunciado diz que um balão sobe a 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} e que, quando está a 50\,\mathrm{m} do solo, solta uma pedra. Assim, a pedra inicia um movimento vertical com velocidade inicial igual à do balão v_0=+15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} e aceleração constante da gravidade para baixo g=9{,}8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Vamos usar as equações da cinemática em uma dimensão:
y(t)=y_0+v_0\,t-\tfrac12\,g\,t^2,
v(t)=v_0-g\,t.

Passo 2

Para achar o tempo de queda, impomos y(t)=0 com
y_0=50\,\mathrm{m},\quad v_0=+15\,\mathrm{m}/\mathrm{s},\quad g=9{,}8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
A equação fica
-\,\tfrac12\cdot9{,}8\,t^2+15\,t+50=0 \quad\Longrightarrow\quad -4{,}9\,t^2+15\,t+50=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = 15^2-4\cdot(-4{,}9)\cdot50 =225+980=1205,
t=\frac{-15\pm\sqrt{1205}}{-9{,}8}.
O único resultado fisicamente aceitável (positivo) é
t=\frac{15+\sqrt{1205}}{9{,}8}\approx5{,}07\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Para a velocidade ao atingir o solo usamos
v(t)=v_0-g\,t.
Substituindo t\approx5{,}07\,\mathrm{s}:
v=15-9{,}8\cdot5{,}07\approx-34{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
O sinal negativo indica que a pedra está se movendo para baixo.

Resposta

(a) t\approx5{,}07\\ \mathrm{s}.
(b) v\approx-34{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

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