grande volume de nutrientes e micro-organismos, a quantidade de energia térmica liberada por unidade de tempo neste processo aeróbico é grande e exige um sistema de controle de temperatura para mantê-la entre 30^{\circ} \mathrm{C} e 36{ }^{\circ} \mathrm{C}. Na ausência desse controlador, a temperatura do meio aumenta com o tempo. Para estimar a taxa de aquecimento nesse caso, considere que a cada litro de \mathrm{O}_{2} consumido no processo aeróbico sejam liberados aproximadamente 48 kJ de energia térmica (calor). Em um tanque com 500000 litros de cultura, que pode ser considerado como meio aquoso, são consumidos 8750 litros de \mathrm{O}_{2} a cada minuto.
Se o calor específico da água é 4,2 \mathrm{~J} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}, calcule a variação de temperatura do meio a cada minuto do processo.
Dado: densidade da cultura =1 \mathrm{~kg} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado descreve um processo aeróbico em que cada litro de \mathrm{O}_2 consumido libera 48 kJ de calor. Num tanque de 500000 L (densidade 1 kg/L), consome-se 8750 L de \mathrm{O}_2 por minuto. Queremos estimar a subida de temperatura \Delta T a cada minuto usando a relação de calor sensível
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é o calor liberado, m a massa do meio e c seu calor específico.

Passo 2

Calor liberado por minuto em kJ:
Q = 8750\;\mathrm{L/min} \times 48\;\mathrm{kJ/L} = 4{,}2 \times 10^5\;\mathrm{kJ/min}.

Passo 3

Converter Q para joules:
Q = 4{,}2 \times 10^5\;\mathrm{kJ/min} \times 10^3\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kJ}} = 4{,}2 \times 10^8\;\mathrm{J/min}.

Passo 4

Massa do meio e capacidade térmica:
m = 500000\;\mathrm{L} \times 1\;\mathrm{kg/L} = 5 \times 10^5\;\mathrm{kg},
c = 4{,}2\;\mathrm{J/(g\,{}^\circ C)} = 4200\;\mathrm{J/(kg\,{}^\circ C)},
m\,c = 5\times10^5\;\mathrm{kg}\times4200\;\mathrm{J/(kg\,{}^\circ C)} =2{,}1\times10^9\;\mathrm{J/{}^\circ C}.

Passo 5

Isolando \Delta T em Q = m\,c\,\Delta T:
\Delta T = \frac{Q}{m\,c} = \frac{4{,}2\times10^8}{2{,}1\times10^9}\;{}^\circ C \approx 0{,}2\;{}^\circ C\quad\text{por minuto}.

Resposta

A variação de temperatura do meio é aproximadamente 0{,}2\,{}^\circ C por minuto.

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