Em um experimento sobre efeito Compton, um fóton de raio X de comprimento de onda 1,0 \times 10^{-2} \mathrm{~nm} colide frontalmente com um elétron de um bloco de grafite, sendo que o fóton espalhado retorna ao longo da direção inicial. Determine:
a) O comprimento de onda do fóton espalhado.
b) A variação de energia do fóton.
c) A energia cinética adquirida pelo elétron.

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão Compton frontal (ângulo de espalhamento do fóton \theta=180^\circ) de um fóton de raios X, com comprimento de onda inicial
\lambda_i = 1{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{nm}
incidindo sobre um elétron inicialmente em repouso. Vamos usar o efeito Compton para determinar:
  • (a) o comprimento de onda \lambda_f do fóton espalhado,
  • (b) a variação de energia do fóton \Delta E = E_i - E_f,
  • (c) a energia cinética K_e adquirida pelo elétron.

Passo 2

Para o espalhamento Compton, o deslocamento no comprimento de onda é
\Delta \lambda \;=\; \lambda_f - \lambda_i \;=\;\frac{h}{m_e c}\,\bigl(1 - \cos\theta\bigr).
Aqui h/(m_e c) é o comprimento de onda de Compton do elétron, \lambda_C = 2{,}426\times10^{-12}\,\mathrm{m}, e para \theta=180^\circ temos \cos\theta=-1, logo
\Delta \lambda = \lambda_C\,(1 - (-1)) = 2\,\lambda_C = 2\times2{,}426\times10^{-12}\,\mathrm{m} = 4{,}852\times10^{-12}\,\mathrm{m}.
Convertendo \lambda_i para metros:
\lambda_i = 1{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{nm} = 1{,}0\times10^{-11}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Agora obtemos o comprimento de onda do fóton espalhado:
\lambda_f = \lambda_i + \Delta \lambda = 1{,}0\times10^{-11}\,\mathrm{m} + 4{,}852\times10^{-12}\,\mathrm{m} = 1{,}4852\times10^{-11}\,\mathrm{m}
Em unidades de nanômetro:
\lambda_f = 1{,}4852\times10^{-11}\,\mathrm{m} = 1{,}4852\times10^{-2}\,\mathrm{nm}.

Passo 4

A energia de um fóton é dada por
E = \frac{h\,c}{\lambda}.
Calculemos E_i e E_f:
E_i = \frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\;\times\;2{,}998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}} {1{,}0\times10^{-11}\,\mathrm{m}} = 1{,}9878\times10^{-14}\,\mathrm{J},
E_f = \frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\;\times\;2{,}998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}} {1{,}4852\times10^{-11}\,\mathrm{m}} = 1{,}3372\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
A variação de energia do fóton é
\Delta E = E_i - E_f = \bigl(1{,}9878 - 1{,}3372\bigr)\times10^{-14}\,\mathrm{J} = 6{,}506\times10^{-15}\,\mathrm{J}.
Em elétron-volts:
\Delta E = \frac{6{,}506\times10^{-15}\,\mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}} \approx 4,06\times10^{4}\,\mathrm{eV}\;(40{,}6\,\mathrm{keV}).

Passo 5

Na colisão, a energia perdida pelo fóton é transferida ao elétron como energia cinética. Logo
K_e = \Delta E = 6{,}506\times10^{-15}\,\mathrm{J} \approx 4,06\times10^{4}\,\mathrm{eV}.

Resposta

a) \lambda_f = 1{,}4852\times10^{-2}\,\mathrm{nm}.
b) \Delta E = 6{,}506\times10^{-15}\,\mathrm{J}\approx4,06\times10^{4}\,\mathrm{eV}.
c) K_e = 6{,}506\times10^{-15}\,\mathrm{J}\approx4,06\times10^{4}\,\mathrm{eV}.

Exercícios relacionados