Fótons com comprimento de onda 2,4 \mathrm{pm} incidem sobre um alvo que contém elétrons livres. a) Qual o comprimento de onda de um fóton que é espalhado
segundo um ângulo de 60^{\circ} em relação a direção incidente? b) Qual é a energia dos elétrons após a colisão?

Passo 1

O enunciado descreve um caso de espalhamento Compton, em que fótons de comprimento de onda inicial \lambda=2,4\,\mathrm{pm} colidem com elétrons livres e são espalhados num ângulo \theta=60^\circ. Para resolver, precisamos usar a fórmula do deslocamento Compton e a conservação de energia para calcular (a) o comprimento de onda do fóton espalhado e (b) a energia cinética adquirida pelo elétron.

Passo 2

A fórmula do espalhamento Compton dá o comprimento de onda \lambda' do fóton espalhado em função de \lambda, do ângulo \theta e da comprimento de onda de Compton do elétron \lambda_C. Em display:
\lambda' = \lambda + \lambda_C\,(1 - \cos\theta),
onde
\lambda_C = \frac{h}{m_e c}\approx2{,}426\,\mathrm{pm}.

Passo 3

Substituindo \lambda=2{,}4\,\mathrm{pm}, \lambda_C=2{,}426\,\mathrm{pm} e \cos60^\circ=0{,}5:
\Delta\lambda = \lambda_C\,(1-0{,}5)=2{,}426\times0{,}5=1{,}213\,\mathrm{pm},
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\lambda' = 2{,}4 + 1{,}213 = 3{,}613\,\mathrm{pm}\approx3{,}62\,\mathrm{pm}.

Passo 4

Pela conservação de energia, o fóton perde energia que vai para a energia cinética do elétron. A energia de um fóton é E = hc/\lambda. Então:
E_i = \frac{hc}{\lambda} =\frac{1{,}986\times10^{-25}\,\mathrm{J\cdot m}}{2{,}4\times10^{-12}\,\mathrm{m}} \approx8{,}28\times10^{-14}\,\mathrm{J},
E_f = \frac{hc}{\lambda'} =\frac{1{,}986\times10^{-25}}{3{,}613\times10^{-12}} \approx5{,}49\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
A energia cinética do elétron é
K_e = E_i - E_f \approx8{,}28\times10^{-14} - 5{,}49\times10^{-14} =2{,}79\times10^{-14}\,\mathrm{J} \approx1{,}74\times10^{5}\,\mathrm{eV}\;(174\,\mathrm{keV}).

Resposta

a) \lambda' \approx 3{,}62\,\mathrm{pm}.
b) K_e \approx 2{,}8 \times 10^{-14}\,\mathrm{J} (aprox. 174\,\mathrm{keV}).

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