Um experimento
tem probabilidade de sucesso de
e um
tem probabilidade de sucesso de
.
a) Se o experimento
é realizado 10 vezes, qual a probabilidade de ocorrerem 3 sucessos.
b) Se o experimento
é realizado 10 vezes, qual a probabilidade de ocorrerem até 3 sucessos?
c) Se o experimento
é realizado 10 vezes e o
é realizado 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrerem 5 ou mais sucessos em
e 0 ou 1 sucesso em
?
d) Se as probabilidades de sucesso de
e
mudam ambas para
, qual a probabilidade de ocorrerem 5 ou mais sucessos em 10 de
e de ocorrerem 3 ou 4 sucessos em 4 de
? Comente os resultados relacionando com o método do duplo filtro usado nas avaliaçōes deste curso.
a) Se o experimento
b) Se o experimento
c) Se o experimento
d) Se as probabilidades de sucesso de
Passo 1
O enunciado trata de variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição binomial. Para o experimento
temos
e
; para o experimento
em (c) temos
e
. Em (d) ambos mudam para
. Vamos usar a fórmula da binomial:
Passo 2
(a) Queremos
com
. Logo
Passo 3
(b) Agora
. Sabendo que
temos
Passo 4
(c) Para
e
independentes, queremos
Calculamos primeiro
e depois
Portanto
Passo 5
(d) Agora
e
.
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Comentário sobre o duplo filtro: quando os
são baixos ou médios (como em (c)), a probabilidade de passar em ambas as etapas cai bastante (produto de
por
deu
). Ao aumentar muito a chance de sucesso em cada teste (caso (d)), cada filtro isolado quase sempre passa e o produto também fica grande
. Em avaliações com “duplo filtro”, pequenas probabilidades em cada etapa podem reduzir muito a chance conjunta, enquanto probabilidades altas tornam o conjunto de critérios pouco excludente.
Resposta
(a)
(b)
(c) (aprox.)
(d) e
.(Commentário acima.)
(b)
(c)
(d)