Um experimento x tem probabilidade de sucesso de 50 \% e um Y tem probabilidade de sucesso de 30 \%.
a) Se o experimento X é realizado 10 vezes, qual a probabilidade de ocorrerem 3 sucessos.
b) Se o experimento X é realizado 10 vezes, qual a probabilidade de ocorrerem até 3 sucessos?
c) Se o experimento X é realizado 10 vezes e o Y é realizado 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrerem 5 ou mais sucessos em X e 0 ou 1 sucesso em Y ?
d) Se as probabilidades de sucesso de X e Y mudam ambas para 80 \%, qual a probabilidade de ocorrerem 5 ou mais sucessos em 10 de X e de ocorrerem 3 ou 4 sucessos em 4 de Y ? Comente os resultados relacionando com o método do duplo filtro usado nas avaliaçōes deste curso.

Passo 1

O enunciado trata de variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição binomial. Para o experimento X temos n=10 e p=0{,}5; para o experimento Y em (c) temos n=4 e p=0{,}3. Em (d) ambos mudam para p=0{,}8. Vamos usar a fórmula da binomial:
P(W = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 2

(a) Queremos P(X=3) com X\sim\mathrm{Bin}(10,0{,}5). Logo
P(X=3) = \binom{10}{3}\,(0{,}5)^3\,(0{,}5)^7 = 120 \times (0{,}5)^{10} = \frac{120}{1024} \approx 0{,}1171875.

Passo 3

(b) Agora P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}P(X=k). Sabendo que
\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k} = 1+10+45+120=176,
temos
P(X\le3) = \frac{176}{1024} \approx 0{,}171875.

Passo 4

(c) Para X\sim\mathrm{Bin}(10,0{,}5) e Y\sim\mathrm{Bin}(4,0{,}3) independentes, queremos
P(X\ge5\;\text{e}\;Y\le1) = P(X\ge5)\,P(Y\le1).
Calculamos primeiro
P(X\ge5) =1 - P(X\le4) =1 - \frac{1+10+45+120+210}{1024} =1 - \frac{386}{1024} \approx 0{,}6230469,
e depois
P(Y\le1) = P(Y=0)+P(Y=1) = (0{,}7)^4 + 4\,(0{,}3)\,(0{,}7)^3 =0{,}2401 + 4\cdot0{,}3\cdot0{,}343 \approx 0{,}6517.
Portanto
P(X\ge5\;\text{e}\;Y\le1) \approx 0{,}6230469 \times 0{,}6517 \approx 0{,}4061.

Passo 5

(d) Agora X\sim\mathrm{Bin}(10,0{,}8) e Y\sim\mathrm{Bin}(4,0{,}8).
Para X:
P(X\ge5) =1 - \sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}(0{,}8)^k(0{,}2)^{10-k} \approx 1 - 0{,}000637 \approx 0{,}999363.
Para Y:
P(Y=3\;\text{ou}\;4) = \binom{4}{3}(0{,}8)^3(0{,}2)^1 \;+\;(0{,}8)^4 = 4\cdot0{,}512\cdot0{,}2 + 0{,}4096 = 0{,}4096 + 0{,}4096 = 0{,}8192.

Passo 6

Comentário sobre o duplo filtro: quando os p são baixos ou médios (como em (c)), a probabilidade de passar em ambas as etapas cai bastante (produto de \approx0{,}62 por \approx0{,}65 deu \approx0{,}41). Ao aumentar muito a chance de sucesso em cada teste (caso (d)), cada filtro isolado quase sempre passa e o produto também fica grande \approx0{,}9994\cdot0{,}8192\approx0{,}8185. Em avaliações com “duplo filtro”, pequenas probabilidades em cada etapa podem reduzir muito a chance conjunta, enquanto probabilidades altas tornam o conjunto de critérios pouco excludente.

Resposta

(a) 0{,}1171875
(b) 0{,}171875
(c) 0{,}4061 (aprox.)
(d) P(X\ge5)\approx0{,}999363 e P(Y=3\text{ ou }4)=0{,}8192.(Commentário acima.)

Exercícios relacionados