Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento
em um filamento requer uma força
onde
, e
são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a
, ou seja,
. Use a relação de Maxwell apropriada para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos uma relação entre força $ J $, deslocamento $ x $ e temperatura $ T $ dada por $ J = a x - b T + c T x $. Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante é $ C_x = A(x) T $. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial da entropia $ S $ em relação a $ x $ mantendo a temperatura $ T $ constante, ou seja, $ \left( \frac{\partial S}{\partial x} \right)_T $. Para isso, vamos usar uma relação de Maxwell, que conecta derivadas parciais de funções termodinâmicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que nas termodinâmicas, as relações de Maxwell vêm das derivadas cruzadas igualadas de potenciais termodinâmicos. Vamos usar o potencial termodinâmico de Helmholtz, $ F $, que depende de $ T $ e $ x $. A derivada total de $ F $ é dada por:
Isso significa que:
Passo 3
A relação de igualdade das derivadas cruzadas nos dá:
Simplificando, temos:
Portanto, conseguimos expressar $ \left( \frac{\partial S}{\partial x} \right)_T $ em termos da derivada de $ J $ em relação a $ T $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \left( \frac{\partial J}{\partial T} \right)_x $ usando a expressão dada para $ J $:
Derivando $ J $ em relação a $ T $ mantendo $ x $ constante, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na relação que encontramos: