Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento x em um filamento requer uma força
J=a x-b T+c T x
onde a, b, e c são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a T, ou seja, Cx=A(x) T. Use a relação de Maxwell apropriada para calcular (partial S / partial x)T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos uma relação entre força $ J $, deslocamento $ x $ e temperatura $ T $ dada por $ J = a x - b T + c T x $. Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante é $ C_x = A(x) T $. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial da entropia $ S $ em relação a $ x $ mantendo a temperatura $ T $ constante, ou seja, $ \left( \frac{\partial S}{\partial x} \right)_T $. Para isso, vamos usar uma relação de Maxwell, que conecta derivadas parciais de funções termodinâmicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que nas termodinâmicas, as relações de Maxwell vêm das derivadas cruzadas igualadas de potenciais termodinâmicos. Vamos usar o potencial termodinâmico de Helmholtz, $ F $, que depende de $ T $ e $ x $. A derivada total de $ F $ é dada por:
F
Isso significa que:
T

Passo 3

A relação de igualdade das derivadas cruzadas nos dá:
( partial Jpartial T )x = ( partial (-S)partial x )T
Simplificando, temos:
( partial Jpartial T )x = -( partial Spartial x )T
Portanto, conseguimos expressar $ \left( \frac{\partial S}{\partial x} \right)_T $ em termos da derivada de $ J $ em relação a $ T $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \left( \frac{\partial J}{\partial T} \right)_x $ usando a expressão dada para $ J $:
( partial Jpartial T )x
Derivando $ J $ em relação a $ T $ mantendo $ x $ constante, temos:
J

Passo 5

Substituindo de volta na relação que encontramos:
( partial Spartial x )T = -( partial Jpartial T )x = -(-b + c x) = b - c x

Resposta

( partial Spartial x )T = b - c x

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