Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento
em um filamento requer uma força
onde
, e
são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a
, ou seja,
. Calcule o calor específico a tensão constante, ou seja,
em função de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que mistura física e matemática, mais especificamente termodinâmica. A questão fala sobre como uma força $ J $ está relacionada com o deslocamento $ x $ e a temperatura $ T $ em um filamento. A equação que liga esses três é:
Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante $ C_x $ é proporcional à temperatura:
Nosso objetivo é calcular o calor específico a tensão constante $ C_J $, que é dado por:
Então, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e cálculo de derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa $ C_J $. Esse calor específico é medido quando mantemos a força $ J $ constante enquanto a temperatura $ T $ varia. Para relacionar $ C_J $ com $ C_x $, precisamos expressar $ C_J $ em termos de $ C_x $ e das variações de $ x $ e $ T $ que mantêm $ J $ constante.
Passo 3
Vamos começar derivando a equação dada para $ J $ em relação à temperatura $ T $, mantendo $ J $ constante. A equação é:
Queremos encontrar $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $, ou seja, como $ x $ varia com $ T $ mantendo $ J $ constante.
Passo 4
Derivando ambos os lados da equação em relação a $ T $:
Aplicando a regra do produto na última derivada:
Passo 5
Vamos organizar os termos para isolar $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $:
Fatorando $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $:
Passo 6
Isolando $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $:
Passo 7
Agora, vamos relacionar isso com a capacidade calorífica $ C_J $. Sabemos que:
Mas aqui, já que $ C_x = A(x) T $, precisamos expressar $ C_J $ em termos de $ C_x $ e da variação de $ x $ com $ T $.
Passo 8
Sabemos que a capacidade calorífica a deslocamento constante $ C_x $ é:
Para encontrar $ C_J $, usamos a relação:
Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial C_x}{\partial T} $.
Passo 9
Derivando $ C_x = A(x) T $ em relação a $ T $, mantendo $ J $ constante:
Aqui, usamos a regra da cadeia porque $ A $ depende de $ x $, que por sua vez depende de $ T $.
Passo 10
Substituindo $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $ que encontramos no Passo 6:
Onde $ A’(x) $ é a derivada de $ A $ em relação a $ x $.
Passo 11
Agora, substituímos de volta na expressão de $ C_J $:
Simplificando:
Resposta
O calor específico a tensão constante $ C_J $ em função de $ T $ e $ J $ é dado por: