Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento x em um filamento requer uma força
J=a x-b T+c T x
onde a, b, e c são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a T, ou seja, Cx=A(x) T. Calcule o calor específico a tensão constante, ou seja, CJ=T(partial S / partial T)J em função de T e J.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que mistura física e matemática, mais especificamente termodinâmica. A questão fala sobre como uma força $ J $ está relacionada com o deslocamento $ x $ e a temperatura $ T $ em um filamento. A equação que liga esses três é:
J
Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante $ C_x $ é proporcional à temperatura:
x
Nosso objetivo é calcular o calor específico a tensão constante $ C_J $, que é dado por:
T
Então, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa $ C_J $. Esse calor específico é medido quando mantemos a força $ J $ constante enquanto a temperatura $ T $ varia. Para relacionar $ C_J $ com $ C_x $, precisamos expressar $ C_J $ em termos de $ C_x $ e das variações de $ x $ e $ T $ que mantêm $ J $ constante.

Passo 3

Vamos começar derivando a equação dada para $ J $ em relação à temperatura $ T $, mantendo $ J $ constante. A equação é:
J
Queremos encontrar $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $, ou seja, como $ x $ varia com $ T $ mantendo $ J $ constante.

Passo 4

Derivando ambos os lados da equação em relação a $ T $:
T
Aplicando a regra do produto na última derivada:
0 = a ( partial xpartial T )J - b + c ( partial (T x)partial T )J

Passo 5

Vamos organizar os termos para isolar $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $:
( partial xpartial T )J
Fatorando $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $:
a ( partial xpartial T )J + c T ( partial xpartial T )J = b - c x

Passo 6

Isolando $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $:
( partial xpartial T )J

Passo 7

Agora, vamos relacionar isso com a capacidade calorífica $ C_J $. Sabemos que:
CJ
Mas aqui, já que $ C_x = A(x) T $, precisamos expressar $ C_J $ em termos de $ C_x $ e da variação de $ x $ com $ T $.

Passo 8

Sabemos que a capacidade calorífica a deslocamento constante $ C_x $ é:
Cx
Para encontrar $ C_J $, usamos a relação:
Cx = A(x) T
Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial C_x}{\partial T} $.

Passo 9

Derivando $ C_x = A(x) T $ em relação a $ T $, mantendo $ J $ constante:
Cx = A(x) T
Aqui, usamos a regra da cadeia porque $ A $ depende de $ x $, que por sua vez depende de $ T $.

Passo 10

Substituindo $ \left( \frac{\partial x}{\partial T} \right)_J $ que encontramos no Passo 6:
( partial xpartial T )J
Onde $ A’(x) $ é a derivada de $ A $ em relação a $ x $.

Passo 11

Agora, substituímos de volta na expressão de $ C_J $:
CJ
Simplificando:
CJ = A(x) T + T ( A(x) + T cdot A'(x) cdot b - c xa + c T )
CJ = A(x) T + A(x) T + T^2 cdot A'(x) cdot b - c xa + c T

Resposta

O calor específico a tensão constante $ C_J $ em função de $ T $ e $ J $ é dado por:
CJ

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