Explicite as derivadas de a. f(x)=tan x; b. f(x)=cot x ; c. f(x)=sec x ; d. f(x)=cosec x
f(x)=x sin (raiz[3]x^5-x^2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Explicitar as derivadas das funções trigonométricas básicas
  2. Calcular a derivada de
f(x)=xsin!l(raiz[3]x^5-x^2r)
Para isso vamos usar as fórmulas conhecidas de derivadas de funções trigonométricas, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivadas das funções trigonométricas
Pelas fórmulas clássicas, temos
ddxtan x = sec^2 x, ddxcot x = -csc^2 x, ddxsec x = sec xtan x, ddxcsc x = -csc xcot x

Passo 3

Derivada de f(x)=xsinl((x^5-x^2)^1/3r)
Aplicamos a regra do produto e, em seguida, a regra da cadeia. Primeiro,
f'(x) =1cdot sinl((x^5-x^2)^1/3r) + xcdot ddxl[sinl((x^5-x^2)^1/3r)r]
Pela regra da cadeia,
ddxl[sin(u)r] =cos(u),u', u(x)=(x^5-x^2)^1/3,
e
u'(x) =13(x^5-x^2)^-2/3cdot(5x^4-2x)
Logo,
f'(x) =sin!l((x^5-x^2)^1/3r) + xcos!l((x^5-x^2)^1/3r)cdot13(x^5-x^2)^-2/3(5x^4-2x)

Resposta

(a) ddxtan x = sec^2 x
(b) ddxcot x = -csc^2 x
(c) ddxsec x = sec xtan x
(d) ddxcsc x = -csc xcot x
Para f(x)=xsinl(raiz[3]x^5-x^2r):
f'(x) =sin!l((x^5-x^2)^1/3r) + x3(5x^4-2x)(x^5-x^2)^-2/3cos!l((x^5-x^2)^1/3r)

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