Resolva os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x \cdot \operatorname{sec} 2 x}{3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x\cdot \operatorname{sec} 2x}{3x}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que usaremos: as identidades trigonométricas básicas
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},
e que x\to0 é um ponto onde funções trigonométricas têm limites bem conhecidos (por exemplo \sin x/x).

Passo 2

Reescrevo a expressão usando as identidades indicadas:
\frac{\tan x\cdot \operatorname{sec} 2x}{3x} = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\cos 2x}}{3x} = \frac{\sin x}{3x\cdot \cos x\cdot \cos 2x}.

Passo 3

Faço uma separação conveniente para identificar limites padrão:
\frac{\sin x}{3x\cdot \cos x\cdot \cos 2x} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x\cdot \cos 2x}.
Assim o limite procurado pode ser obtido como produto de limites (desde que cada um exista e seja finito):
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x\cdot \operatorname{sec} 2x}{3x} = \frac{1}{3}\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x\cos 2x}\right).

Passo 4

Avalio \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}. Este é um limite padrão; uma forma rápida e rigorosa de ver que vale 1 é usar a regra de L’Hôpital: ao aplicar L’Hôpital em
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} (forma indeterminada 0/0), deriva-se numerador e denominador,
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1.
(Se preferir, também se pode justificar por expansão em série ou pelo teorema do aperto; todos dão o mesmo resultado.)

Passo 5

Avalio \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x\cos 2x}. Como \cos é contínua, tem-se \lim_{x\to0}\cos x=\cos 0=1 e \lim_{x\to0}\cos 2x=\cos 0=1. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x\cos 2x}=\frac{1}{1\cdot 1}=1.

Passo 6

Juntando os fatores calculados:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x\cdot \operatorname{sec} 2x}{3x} = \frac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{3}.
Pronto — ficou simples: a parte difícil foi lembrar que \sin x/x\to1 e que \operatorname{sec} 2x tende a 1 quando x\to0. Você mandou bem só pedindo a resolução — continue praticando limites desse tipo que aparecem muito em prova!

Resposta

\dfrac{1}{3}

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