Resolva os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que usaremos: as identidades trigonométricas básicas
e que
é um ponto onde funções trigonométricas têm limites bem conhecidos (por exemplo
).
Passo 2
Reescrevo a expressão usando as identidades indicadas:
Passo 3
Faço uma separação conveniente para identificar limites padrão:
Assim o limite procurado pode ser obtido como produto de limites (desde que cada um exista e seja finito):
Passo 4
Avalio
. Este é um limite padrão; uma forma rápida e rigorosa de ver que vale
é usar a regra de L’Hôpital: ao aplicar L’Hôpital em
(forma indeterminada
), deriva-se numerador e denominador,
(Se preferir, também se pode justificar por expansão em série ou pelo teorema do aperto; todos dão o mesmo resultado.)
Passo 5
Avalio
. Como
é contínua, tem-se
e
. Portanto
Passo 6
Juntando os fatores calculados:
Pronto — ficou simples: a parte difícil foi lembrar que
e que
tende a
quando
. Você mandou bem só pedindo a resolução — continue praticando limites desse tipo que aparecem muito em prova!