Resolva os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-x-2}{x^{3}-8}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{2}-x-2}{x^{3}-8}.
Informações dadas:
  • Numerador: \,x^{2}-x-2.
  • Denominador: \,x^{3}-8.
    A pergunta concreta: qual é o valor numérico desse limite quando x tende para 2?

Passo 2

Teste de substituição direta (sempre o primeiro passo rápido): substituir x=2 em numerador e denominador.
\text{numerador em }x=2:\;2^{2}-2-2=4-2-2=0,
\text{denominador em }x=2:\;2^{3}-8=8-8=0.
Obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso diz que não podemos concluir o limite por substituição direta — é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Opções para tratar \tfrac{0}{0}: (i) fatorar e cancelar fatores comuns; (ii) usar a regra de L’Hôpital. Vou escolher fatorar e cancelar porque aqui os termos são polinômios que se fatoram facilmente — é o método mais direto e elementar (útil em prova quando não se quer derivar). Explico como fatorar cada parte.

Passo 4

Fatoração do numerador \,x^{2}-x-2. Procura-se dois números cuja multiplicação dê -2 e cuja soma dê -1. Esses números são -2 e 1. Assim:
x^{2}-x-2 = (x-2)(x+1).
(Dica rápida: conferir expandindo (x-2)(x+1)=x^{2}-2x+x-2=x^{2}-x-2.)

Passo 5

Fatoração do denominador \,x^{3}-8. Reconhece-se uma diferença de cubos, pois 8=2^{3}. A identidade é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Com a=x e b=2,
x^{3}-8 = (x-2)(x^{2}+2x+4).

Passo 6

Substituindo as fatorações na fração:
\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}-8} = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a função simplificada equivalente para todos os x próximos de 2, exceto possivelmente em x=2:
\frac{x+1}{x^{2}+2x+4}.
Explicação conceitual: o limite quando x\to 2 depende do comportamento da função perto de 2, não do valor no próprio ponto; cancelar o fator remove a indeterminação e permite avaliar o limite por substituição agora.

Passo 7

Avaliar o limite pela substituição na expressão simplificada:
\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x^{2}+2x+4} = \frac{2+1}{2^{2}+2\cdot 2+4} = \frac{3}{4+4+4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.
Fiz as contas passo a passo: 2+1=3; 2^{2}=4, 2\cdot2=4; somando 4+4+4=12. Simplificando 3/12 1/4.

Passo 8

Breve verificação alternativa (opcional): usando a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador e avaliando em x=2,
\frac{d}{dx}(x^{2}-x-2)=2x-1,\qquad \frac{d}{dx}(x^{3}-8)=3x^{2},
então o limite seria \dfrac{2\cdot 2 -1}{3\cdot 2^{2}}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}, consistente com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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