Resolva os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
- Denominador:
A pergunta concreta: qual é o valor numérico desse limite quandotende para ?
Passo 2
Teste de substituição direta (sempre o primeiro passo rápido): substituir
em numerador e denominador.
Obtemos a forma indeterminada
. Isso diz que não podemos concluir o limite por substituição direta — é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Opções para tratar
: (i) fatorar e cancelar fatores comuns; (ii) usar a regra de L’Hôpital. Vou escolher fatorar e cancelar porque aqui os termos são polinômios que se fatoram facilmente — é o método mais direto e elementar (útil em prova quando não se quer derivar). Explico como fatorar cada parte.
Passo 4
Fatoração do numerador
. Procura-se dois números cuja multiplicação dê
e cuja soma dê
. Esses números são
e
. Assim:
(Dica rápida: conferir expandindo
.)
Passo 5
Fatoração do denominador
. Reconhece-se uma diferença de cubos, pois
. A identidade é
Com
e
,
Passo 6
Substituindo as fatorações na fração:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função simplificada equivalente para todos os
próximos de
, exceto possivelmente em
:
Explicação conceitual: o limite quando
depende do comportamento da função perto de
, não do valor no próprio ponto; cancelar o fator remove a indeterminação e permite avaliar o limite por substituição agora.
Passo 7
Avaliar o limite pela substituição na expressão simplificada:
Fiz as contas passo a passo:
;
,
; somando
. Simplificando
dá
.
Passo 8
Breve verificação alternativa (opcional): usando a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador e avaliando em
,
então o limite seria
, consistente com o resultado anterior.